Problemă de dimensiune în programarea dinamică. Controlul optim al sistemelor dinamice continue Obiecte de control dinamic de mari dimensiuni

În exemplele luate în considerare (problema de încărcare a rucsacului și problema de fiabilitate), a fost folosită o singură variabilă pentru a descrie stările sistemului, iar controlul a fost atribuit și unei singure variabile. În cazul general, în modelele de programare dinamică, stările și controalele pot fi descrise folosind mai multe variabile care formează vectorii de stare și de control.

O creștere a numărului de variabile de stare determină o creștere a numărului Opțiuni decizii asociate fiecărei etape. Acest lucru poate duce la așa-numita problemă „blestem al dimensionalității”, care este un obstacol serios în rezolvarea problemelor de programare dinamică medie și mare.

De exemplu, luați în considerare problema încărcării unui rucsac, dar cu două constrângeri (de exemplu, constrângeri de greutate și volum):

Unde , . Deoarece sarcina are două tipuri de resurse, este necesar să introduceți doi parametri de stare și . Indicați , , . Apoi restricțiile (1) pot fi reduse la forma:

Unde . În ecuațiile recurente ale metodei de programare dinamică pentru problema „rucsac” cu două constrângeri (1):

fiecare dintre funcții este o funcție a două variabile. Dacă fiecare dintre variabile poate lua 10 2 valori, atunci funcția trebuie tabelată la 10 4 puncte. În cazul a trei parametri, în aceleași ipoteze, este necesar să se calculeze 10 8 puterile valorilor funcțiilor.

Deci cel mai mare obstacol aplicație practică programarea dinamică se dovedește a fi o serie de parametri problematici.

Problema de gestionare a stocurilor.

Problema managementului stocurilor apare atunci când este necesar să se creeze un stoc de resurse materiale sau mărfuri pentru a satisface cererea pentru un interval de timp dat (finit sau infinit). În orice sarcină de gestionare a stocurilor, este necesar să se determine cantitatea de produse comandate și momentul plasării comenzilor. Cererea poate fi satisfăcută prin crearea de stoc o dată pentru întreaga perioadă de timp luată în considerare sau prin crearea de stoc pentru fiecare unitate de timp din acea perioadă. Primul caz corespunde unei oferte în exces în raport cu o unitate de timp, al doilea - o ofertă insuficientă în raport cu o perioadă întreagă de timp.

Supraprovizionarea necesită o investiție de capital mai mare (pe unitate de timp), dar epuizările de stoc au loc mai rar și comenzile sunt plasate mai rar. Pe de altă parte, cu o aprovizionare insuficientă, specifică investitii de capital sunt în scădere, dar frecvența comenzilor și riscul penuriei sunt în creștere. Pentru oricare dintre aceste cazuri extreme, sunt caracteristice pierderi economice semnificative. Astfel, deciziile privind mărimea unei comenzi și momentul plasării acesteia se pot baza pe minimizarea funcției corespunzătoare a costurilor totale, inclusiv a costurilor datorate pierderilor din stocul în exces și lipsuri.

Aceste costuri includ:

1. Costurile de achiziție, care devin un factor deosebit de important atunci când prețul unitar este exprimat ca reduceri de volum atunci când prețul unitar scade pe măsură ce dimensiunea comenzii crește.

2. Costurile de procesare a comenzii sunt costuri fixe asociat cu plasarea acestuia. Când cererea este satisfăcută într-o anumită perioadă de timp prin plasarea de comenzi mai mici (mai des), costurile cresc în comparație cu cazul în care cererea este satisfăcută prin plasarea mai multor comenzi mari(și prin urmare mai rar).

3. Costurile de păstrare a stocurilor, care sunt costurile de păstrare a stocurilor (dobânda la capitalul investit, amortizare și costuri de exploatare), cresc de obicei odată cu nivelul stocurilor.

4. Pierderi din lipsuri din cauza lipsei stocului de produse necesare. Ele sunt de obicei asociate cu sancțiuni economice din partea consumatorilor, potențiala pierdere de profit. Figura 1 ilustrează dependența tipurilor de costuri considerate de nivelul stocului de produse. În practică, o componentă a costurilor poate fi ignorată dacă nu constituie o parte semnificativă din costurile totale. Acest lucru duce la o simplificare a modelelor de gestionare a stocurilor.

Tipuri de modele de gestionare a stocurilor.

O mare varietate de modele de gestionare a stocurilor este determinată de natura cererii de produse, care poate fi deterministă sau probabilistică. Figura 2 prezintă schema de clasificare a cererii adoptată în modelele de gestionare a stocurilor.

Cererea statică deterministă presupune că intensitatea consumului rămâne neschimbată în timp. Cerere dinamică - Cererea este cunoscută, dar se modifică în timp.

Natura cererii poate fi descrisă cel mai precis prin intermediul distribuțiilor probabilistice non-staționare. Cu toate acestea, din punct de vedere matematic, modelul devine mult mai complicat, mai ales pe măsură ce perioada de timp luată în considerare crește.

În esență, clasificarea din Fig. 2 poate fi considerată ca o reprezentare a diferitelor niveluri de abstractizare a descrierii cererii.

La primul nivel, se presupune că distribuția probabilității cererii este staționară în timp, adică. aceeași funcție de distribuție a probabilității este utilizată în toate perioadele de timp studiate. Cu această ipoteză, efectul fluctuațiilor sezoniere ale cererii nu este luat în considerare în model.

La al doilea nivel de abstractizare se iau în considerare modificările cererii de la o perioadă la alta. Cu toate acestea, funcțiile de distribuție nu sunt aplicate, iar nevoile din fiecare perioadă sunt descrise de cererea medie. Această simplificare înseamnă că elementul de risc în gestionarea stocurilor nu este luat în considerare. Dar permite studierea fluctuațiilor sezoniere ale cererii, care, din cauza dificultăților analitice și de calcul, nu pot fi luate în considerare într-un model probabilistic.

La al treilea nivel de simplificare, se presupune că cererea în orice perioadă este egală cu valoarea medie a cererii cunoscute pentru toate perioadele luate în considerare, de exemplu. estimați-i intensitatea constantă.

Natura cererii este unul dintre factorii principali în construirea unui model de management al stocurilor, dar există și alți factori care influențează alegerea tipului de model.

1. Întârziere la livrări. Odată ce o comandă a fost plasată, aceasta poate fi livrată imediat sau poate dura ceva timp până la finalizare. Intervalul de timp dintre momentul plasării unei comenzi și livrarea acesteia se numește întârziere de livrare. Această valoare poate fi deterministă sau aleatorie.

2. Reaprovizionare stoc. Procesul de reaprovizionare a stocurilor poate fi efectuat instantaneu sau uniform în timp.

3. Perioada de timp determină intervalul în care nivelul stocurilor este ajustat. În funcție de perioada de timp în care este posibil să se prezică în mod fiabil stocul, perioada luată în considerare este considerată finită sau infinită.

4. Numărul de puncte de stocare. Un sistem de gestionare a stocurilor poate include mai multe puncte de stocare. În unele cazuri, aceste puncte sunt organizate în așa fel încât unul acționează ca furnizor pentru altul. Această schemă este uneori implementată la diferite niveluri, astfel încât un punct consumator de un nivel poate deveni un punct furnizor al altuia. În acest caz, există un sistem de control cu ​​o structură ramificată.

5. Numărul de tipuri de produse.În sistemul de management al stocurilor pot apărea mai mult de un tip de produs. Acest factor este luat în considerare cu condiția să existe o anumită dependență între tipurile de produse. Deci, pentru produse diferite, se poate folosi același depozit, sau producția lor poate fi efectuată cu restricții asupra activelor totale de producție.

Modele deterministe de gestionare a stocurilor.

1.Model de definiție generalizată deterministă dimensiune optimă loturi de produse în ipoteza unui deficit.

Sistemul de management al stocurilor este considerat atunci când produsele sunt livrate la depozit direct din linia de producție cu o intensitate constantă de unități de producție pe unitatea de timp. La atingerea unui anumit nivel de stoc Q producția este oprită. Reluarea producției și livrarea produselor la depozit se realizează în momentul în care cererea nesatisfăcută atinge o anumită valoare G. Stocul este cheltuit cu intensitate. Sunt cunoscute valorile următorilor parametri: - costul depozitării unei unități de mărfuri într-un depozit pe unitatea de timp; - costul organizarii unei comenzi (un lot de produse); - pierderi din cererea nesatisfăcută (penalizare). Se impune aflarea volumului optim al unui lot de produse si a intervalului de timp dintre punctele de reluare a livrarii dupa criteriul costurilor totale minime din functionarea sistemului de management al stocurilor.

Grafic, condițiile problemei sunt prezentate în Fig.3.

Figura arată că reaprovizionarea și epuizarea stocului se efectuează simultan în intervalul fiecărui ciclu. stoc acumulat Q consumat complet pe parcursul intervalului. Pe parcursul intervalului, cererea nu este satisfăcută, ci se acumulează. Cerere nesatisfăcută G acoperit în interval .

Valoarea este numită managementul stocurilor pe ciclu complet.- stoc marginal de produse, G- deficit marginal de produse.

Evident, nivelul actual al inventarului de produse este determinat de formula:

Din triunghiul OAB urmează:

În mod similar, putem defini și (2)

Din asemănarea triunghiurilor OAC și CEF, putem scrie Din egalitate rezultă că (3)

Expresia (3), ținând cont de (1), va fi rescrisă:

Apoi valoare totală costul reaprovizionarii, depozitarea unui stoc de produse și o eventuală penalizare pentru cererea nesatisfăcătoare vor fi determinate de expresia:

Dacă aducem costurile pe unitatea de timp, atunci expresia pentru costurile unitare va arăta astfel:

Deci există o funcție a două argumente Qși T, ale căror valori optime sunt determinate ca soluție a problemei:

Pentru a găsi minimul unei funcții a două argumente, este necesar și suficient să rezolvăm sistemul de ecuații:

Aceasta rezultă din faptul că funcția este o funcție concavă în raport cu argumentele sale. Rezolvarea sistemului de ecuații (5) dă următoarele rădăcini nenegative:

Costul total minim pe unitatea de timp va fi:

Putem lua în considerare cazuri speciale.

1. Lipsa de produse nu este permisă. Rezolvarea problemei în acest caz se obține din formula (6)-(8), dacă punem o penalizare Atunci С 1 /С 3 =0 și valorile optime ale valorilor căutate vor fi:

Acest caz corespunde graficului modificărilor nivelului stocului în timp:

2. Repopularea este instantanee. În acest caz, și în consecință

Graficul nivelului stocului arată astfel:

3. Lipsa nu este permisă, stocurile sunt reaprovizionate instantaneu, adică. . Apoi urmează:

Aceste formule sunt numite formule Wilson, iar valoarea este dimensiunea economică a lotului.

Graficul nivelului stocului arată astfel:

Modele dinamice de gestionare a stocurilor.

În prelegerile anterioare, au fost luate în considerare probleme statice de gestionare a stocurilor pentru o perioadă. Într-un număr de astfel de probleme, au fost obținute expresii analitice pentru nivelul optim de stoc.

Dacă se ia în considerare funcționarea sistemului pe n perioade, iar cererea nu este constantă, se ajunge la modele dinamice de gestionare a stocurilor. Aceste sarcini nu sunt de obicei acceptabile solutie analitica, cu toate acestea, nivelurile optime de inventar pentru fiecare perioadă pot fi calculate prin aplicarea metodei de programare dinamică.

Se are în vedere problema gestiunii stocurilor, când cererea pentru perioada j-a (j=1,n) este determinată de valoarea . Fie nivelul stocului de la începutul perioadei j-a și să fie volumul de reaprovizionare a stocurilor în această perioadă. Reaprovizionarea stocurilor se efectuează instantaneu la începutul perioadei, lipsa de produse nu este permisă. Grafic, condițiile problemei sunt prezentate în Fig.1.

Lăsa - costul total pentru depozitare și reaprovizionare în a j-a perioadă. Valoarea este setată și , deoarece la sfarsitul functionarii sistemelor nu este necesara rezerva.

Se impune determinarea volumelor optime de comenzi in fiecare perioada dupa criteriul costurilor totale minime.

Modelul matematic al problemei va arăta ca

aici este necesar să se determine , care ar satisface constrângerile (2)-(6) și ar minimiza funcția obiectiv (1).

În acest model, funcția obiectiv este separabilă, constrângerile (2) au o formă recurentă. Și această caracteristică a modelului sugerează posibilitatea utilizării metodei de programare dinamică pentru a o rezolva. Modelul (1)-(6) diferă de modelul standard de programare dinamică prin prezența unei condiții; această condiție poate fi transformată după cum urmează. Din (2) și (3) rezultă că , sau poate fi scris

Apoi, din (7), ținând cont de (4), se determină gama de valori posibile: sau în cele din urmă:

Astfel, condiția (3)-(4) este înlocuită cu condiția (8), iar modelul (1),(2),(5)-(6),(8) are o formă standard pentru metoda de programare dinamică.

În conformitate cu metoda de programare dinamică, soluția acestei probleme constă în următorii pași:

Rezultă din constrângerea (12)-(14).(j=2,n).

Susținut mișcare inversă algoritm, ca urmare, se găsesc valorile optime ale variabilelor necesare. Valoarea minimă a funcției obiectiv (1) este determinată de valoare

REFERINȚE

1. Popov E.V. Sisteme expert în timp real [ Resursa electronica] // sisteme deschise- 1995. - Nr 2. - Electron. Dan. - Mod de acces: http://www.osp.ru/text/302/178608/

2. Crossland R., Sims W.J.H., McMahon C.A. Un cadru de modelare orientat pe obiecte pentru reprezentarea incertitudinii în proiectarea variantelor timpurii. // Cercetare în proiectare inginerească - 2003. - № 14. -С. 173-183.

3. Landmark Graphics BERBEC [Resursă electronică] - Electron. Dan. - 2006. - Mod de acces: http://www.geographix.com/ps/vi-ewpg.aspx?navigation_id=1273

4. Schlumberger Merak [Resursa electronică] - Electron. Dan. -2006. - Mod de acces: http://www.slb.com/content/servi-ces/software/valuerisk/index.asp

5. Gensim G2 [Resursa electronica] - Electron. Dan. - 2006. - Mod de acces: - http://www.gensym.com/?p=what_it_is_g2

6. Thurston D.L., Liu T. Design Evaluation of Multiple Attribute Un-

der Incertitudine // Automatizarea sistemelor: cercetare și aplicații.

1991. - V. 1. - Nr. 2. - P. 93-102.

7. Paredis C.J.J., Diaz-Calderon A., Sinha R., Khosla P.K. Modele compuse pentru proiectare bazată pe simulare // Inginerie cu calculatoare. - 2001. - Nr. 17. - P. 112-128.

8. Silich M.P. Tehnologia sistemului: o abordare orientată pe obiecte. - Tomsk: Tom. stat Universitatea de Sisteme de Control și Radioelectronică, 2002. - 224 p.

9. Silich M.P., Starodubtsev GV. Model de obiect de selecție proiecte de investitii dezvoltarea zăcămintelor de petrol și gaze. // Automatizare, telemecanizare și comunicare în industria petrolului. - 2004. - Nr. 11. - S. 16-21.

10. Khabibulina N.Yu., Silich M.P. Caută soluții pe modelul relațiilor funcționale // Tehnologii informaționale

2004. - Nr 9. - S. 27-33.

11. Algoritmul Jess Rete [Resursa electronică] - Electron. Dan. -

2006. - Mod de acces: http://www.jessru-

les.com/jess/docs/70/rete.html

UTILIZAREA CONTROALELOR DE DIMENSIONALITATE EXCESIVA PENTRU AUTONOMIZAREA IEȘIRILOR CONTROLATE ALE OBIECTELOR DE REGLARE MULTIDIMENSIONALĂ

A.M. Malyshenko

Universitatea Politehnică din Tomsk E-mail: [email protected]

Informațiile despre influența controalelor excesului de dimensiune asupra autonomizării ieșirilor obiectelor dinamice liniare staționare sunt sistematizate, sunt propuși algoritmi pentru sinteza precompensatoarelor care oferă un efect similar și feedback asupra stării și ieșirii.

Introducere

Problema controlului autonom (independent) al componentelor ieșirii controlate a unui obiect este una dintre cele mai importante sarcini din punct de vedere practic în sinteza sistemelor. control automat(ACS), probabil, pentru majoritatea obiectelor de control de ieșire multidimensionale. Și-a găsit reflectarea în multe publicații, inclusiv în monografii, în special în.

Problemele autonomizării pentru obiectele multidimensionale liniare staționare au fost rezolvate mai detaliat. Cel mai adesea, problemele de autonomizare (decuplare) a fiecăreia dintre ieșirile obiectului sunt puse și rezolvate, de altfel, vectorul de control (RCV) care nu are o dimensiune în exces m. Datorită imposibilității de principiu a unei astfel de soluții pentru multe obiecte de tipul specificat, această problemă este modificată într-o problemă mai generală de decuplare linie cu linie, definită ca problema Morgan, când pentru un obiect cu p ieșiri este necesar să se determine p seturi de controale m>p și legea de control corespunzătoare, cu care fiecare dintre seturi afectează doar o singură ieșire. Astfel, soluția este determinată în clasa ACS cu o dimensiune în exces a vectorului de control conform

comparativ cu dimensiunea vectorului variabilelor controlate.

Alături de afirmațiile de mai sus, problemele de autonomizare sunt formulate și ca probleme de autonomizare bloc cu bloc (decuplare), când independența este asigurată doar între coordonatele de ieșire incluse în diferitele lor blocuri, dar nu și în cadrul acestor blocuri (grupuri), precum și ca autonomizare în cascadă. În acest din urmă caz, dependența coordonatelor de ieșire între ele este de natură „în lanț” (fiecare ulterioară depinde doar de cele anterioare, dar nu și de cele ulterioare din seria stabilită pentru ele). Și în aceste cazuri, rezolvarea problemelor de autonomizare necesită adesea redundanță în dimensiunea vectorului de control față de numărul de variabile controlate.

Condiţii de rezolvare a problemelor de autonomizare

Soluțiile la problemele de autonomizare se găsesc de regulă în clasa precompensatoarelor liniare sau a feedback-urilor liniare statice sau dinamice, iar în aceste scopuri sunt utilizate atât aparatul matricelor de transfer (cel mai adesea), cât și metodele din spațiul de stare, abordări structurale și geometrice. Ultimele două

abordările le completează cu succes pe primele, întrucât de fapt numai cu ajutorul lor s-au putut stabili majoritatea condițiilor cunoscute de rezolvare a problemelor de autonomizare [6], pentru a da interpretări mai profunde ale soluțiilor acestora.

Când se utilizează pentru autonomizare (decuplare) ieșirile unui obiect precompensator multidimensional liniar, adică un controler care implementează control strict în funcția de setare ¡d(t) fără părere, matricea sa de transfer Wy(s) este aleasă din condiție

Wœ(s) = Wo(s) -W y(s), (1)

unde Wo(s) este matricea de transfer a obiectului de control și Wx(s) este matricea de transfer dorită a sistemului sintetizat care îndeplinește condițiile pentru decuplarea acestuia prin ieșiri.

Feedback-ul static liniar utilizat în aceste scopuri corespunde algoritmului de control

u(t) = F x(t) + G /u(t), (2)

si dinamic -

u (s) = F (s) x(s) + G fi(s). (3)

Aceste feedback-uri sunt realizabile atât cu un regulat (matricea G este inversabilă), cât și cu o transformare neregulată a specificației ¡d(t) a sistemului.

Conform celor de mai sus, feedback-urile dinamice pot fi definite ca un caz special de extensii dinamice care completează obiectul descris de sistemul de ecuații sub forma „input-state-output” de forma

x (t) = Ax (t) + Bu (t), y (t) = C x (t),

ua (t) p _ xa (t)_

unde xa(/) = ua(/), sau prin ecuația operatorului generalizat

și (5) = G(5) x(5") + O(5) ¡l(5).

Controlul unui obiect cu un model de vedere conform algoritmului (2) dă matricea finală de transfer a sistemului

W^) \u003d C (51 - (A + B G (5))) ~ 1BO \u003d

J0(5) . (1 - G(5)(51 - A) -1 B) -1 O = W0(5) . H(5), (4)

unde Wo(s)=C(sI-AylB și #(£) sunt, respectiv, matricele de transfer ale obiectului și precompensatorul, care este echivalent în ceea ce privește efectul de feedback; I este matricea de identitate a dimensiunii nxn.

Transformarea Morse canonică g=(T,F,G,R,S) utilizată în abordarea geometrică cu T,G,S inversabilă a matricei de transfer Wo(s) a obiectului „Lo(C,A,B)

(A, B, C) ^ (TA + BF + R C)T,T ~lBG, SCT)

reduce Wo(s) la transformările sale bicauzale stânga și dreapta ale formei

W0(s) ^ Bi(s)-W0(s)-B2(s), (5)

unde B1(s) = S_1;

B2(s) = -G.

Din (4) și (5) rezultă că static regulat

Feedback-urile (2) și dinamice (3) pot fi interpretate ca precompensatori bicauzali, adică pot fi înlocuiți cu precompensatori bicauzali care au efect echivalent. În raport cu cel de-al doilea, afirmația inversă este și ea adevărată, totuși, precompensatorul bicauzal H(s) se realizează după forma unui feedback static liniar echivalent doar pentru un obiect cu Wo(s) de implementare minimă și dacă și numai dacă Wo(s) și H-1(s) - matrici polinomiale.

Din (5), putem, de asemenea, concluziona că precompensatorii bicauzali și feedback-urile regulate corespunzătoare lor statice și dinamice nu pot schimba structura sistemului la infinit și proprietățile acestuia, în special, inerția minimă (întârzieri) canalelor de control autonome. Aceste modificări pot fi realizate numai în clasa algoritmilor de control neregulat.

Condițiile de rezolvare a problemelor de autonomizare sunt legate de proprietățile structurale ale obiectelor gestionate, descrise de listele lor de invarianți. Mai mult, setul necesar pentru aceasta este determinat de ce algoritm (compensator) este planificat să fie utilizat în aceste scopuri. În consecință, pentru a determina feedback-urile dinamice de decuplare realizabile, este suficient să existe informații despre structura de intrare-ieșire a obiectului, încorporate în matricea sa de transfer sau în partea minimă a descrierii din spațiul de stare. Rezolvarea acestei probleme folosind feedback-ul de stare statică este stabilită de structura interna obiect de control, în special pe baza studiului matricelor sale de sistem Rosenbrock sau Kronecker sau descompunere canonică Morse.

Precompensatorul care decuplă ieșirile obiectului în funcție de rânduri poate fi determinat din (1) dacă și numai dacă m>p, iar matricele [ Wo(s) : W(s)] și Wo(s) au aceleași structura formei Smith-McMillan la infinit.

Dacă matricea de transfer a obiectului are rang de rând complet ( conditie necesara linia-

decuplarea asigurată numai la t>p), apoi decuplarea poate fi asigurată de un precompensator cu o matrice de transfer

unde Wnob(s) este inversul drept al lui W0(s) și k este un număr întreg care face din Wn(s) o matrice proprie.

Se dovedește că decuplarea cu feedback static obișnuit (2) este posibilă dacă și numai dacă decuplarea cu feedback dinamic obișnuit este posibilă

(3). La rândul său, conform , aceasta din urmă este posibilă dacă și numai dacă structura infinită a matricei de transfer a obiectului este unirea structurilor infinite ale rândurilor sale.

Regularitatea feedback-ului implică de fapt că obiectul nu are redundanță în dimensiunea vectorului de control (m=p). Prin urmare, dacă decuplarea nu este realizabilă în acest caz, iar obiectul controlat are un potențial IRTI, atunci pentru a obține o autonomie de control a fiecăreia dintre valorile de ieșire este recomandabil să se folosească această redundanță sau unele modificări constructive în obiectul de control. pentru a-și realiza mai întâi IRTI. De asemenea, trebuie avut în vedere că în situațiile în care m>p, feedback-ul regulat poate să nu conducă la rezultatul dorit, în timp ce în clasa precompensatoarelor neregulate sau același feedback poate fi obținut. De exemplu, pentru un obiect cu o matrice de transfer

Feedback-urile neregulate corespund unor precompensatori pur și simplu cauzali (strict adecvati). Prin urmare, sistemele pe care le formează cu obiectul de control nu vor păstra în general structura obiectului controlat la infinit. Acest lucru, în special, poate fi utilizat pentru a asigura stabilitatea sistemului sintetizat. Reamintim că s-a dovedit încă din 1996 că, cu ajutorul feedback-ului regulat, decuplarea și stabilitatea sistemului pot fi realizate simultan dacă și numai dacă obiectul nu are zerouri invariante instabile ale relației. Ultimele sunt acele zerouri invariante £0(C, A, B) care nu sunt la fel

zerouri temporale și invariante ale subsistemelor de rând £;(C,A,B). Aici c, /e 1,p este /-lea rând al matricei C a obiectului. Aceste zerouri, în funcție de condițiile de decuplare, determină restricțiile privind alegerea polilor sistemului sintetizat. În acest caz, setul de poli fix (nepermițând alocare arbitrară) ai unui sistem decuplat de ieșiri trebuie să includă în mod necesar toate zerourile invariante ale relației.

Astfel, algoritmul de control în cazul zerourilor invariante drepte ale relației din obiect trebuie ales din condiția ca acesta să poată face corecția necesară condițiilor de stabilitate în proprietățile structurale ale sistemului. Astfel, așa cum se arată mai sus, pot fi algoritmi cu feedback neregulat, care sunt de fapt implementați în clasa de sisteme cu IRVE.

O soluție completă la problema decuplării folosind feedback pentru obiectele cu zerouri invariante drepte ale relației nu a fost încă obținută. În special, pentru implementarea sa cu feedback static, este necesar, după cum urmează din , să se facă structura subspațiului de controlabilitate maximă conținută în KerC suficient de bogată pentru ca structura infinită să crească la lista ordinelor esențiale de obiecte. Acestea din urmă caracterizează gradul de dependență la infinit între ieșirile individuale și toate celelalte și pot fi calculate prin formula:

pgv \u003d HPg -X Pg g \u003d 1 g \u003d 1

ieșirile nu sunt decuplate de feedback obișnuit, ci sunt decuplate de un precompensator cu matrice de transfer static

Aici n este ordinul zeroului infinit al sistemului s¡ sub forma matricei de transfer Smith-McMillan a obiectului. Prima sumă din (6) este determinată pentru sistemul £0(C, A, B) ca întreg, iar a doua - pentru CS;, A, B), unde C / este matricea C fără /- rândul. Ordinele esențiale indicate aici determină structura minimă infinită care poate fi obținută dintr-un sistem decuplat.

Pentru feedback-ul dinamic neregulat se stabilește doar condiția de decuplare, ceea ce se rezumă la faptul că redundanța dimensiunii vectorului de control (m-p) trebuie să fie mai mare sau egală cu deficitul rangului coloanei la infinitul matricei interactorului W0 (s), iar acesta din urmă trebuie să aibă rang de rând complet. Interactorul specificat al matricei de transfer a obiectului W0(s) este matricea inversă formei hermitiene a lui W0(s). În treacăt, observăm că ordinea esențială /-a a unui obiect poate fi determinată prin interactorul matricei sale de transfer și este egală cu gradul polinom al coloanei --a.

Deciziile generale pentru sinteza algoritmilor de control din clasa ACS cu IRVU chiar pt obiecte liniare care oferă autonomie

rezultatele lor nu au fost încă primite. Utilizarea controalelor de dimensiune în exces în rezolvarea problemelor de decuplare linie cu linie (autonomizarea ieșirilor) a unui obiect este de fapt necesară.

Aceasta este o condiție importantă în acele cazuri în care obiectul controlat nu îndeplinește condițiile pentru rezolvarea acestei probleme din clasa precompensatoarelor bicauzale și feedback-urile corespunzătoare.

BIBLIOGRAFIE

1. Wonham M. Sisteme de control multidimensionale liniare. - M.: Nauka, 1980. - 375 p.

2. Rosenbrock H.H. Teoria multivariabilă și spațiul stărilor. - Londra: Nelson, 1970. - 257 p.

3. Meerov M. V. Cercetarea și optimizarea sistemelor de control multiconectate. - M.: Nauka, 1986. - 233 p.

4. Malyshenko A.M. Sisteme de control automat cu dimensiunea excesivă a vectorului de control. - Tomsk: Editura Politehnicii din Tomsk. un-ta, 2005. - 302 p.

5. Commault C., Lafay J.F., Malabre M. Structure of linear systems. Abordări geometrice și matrice de transfer // Cybernetika. - 1991.

V. 27. - Nr. 3. - P. 170-185.

6. Descusse J., Lafay J.F., Malabre M. Solution of Morgan’s problem // IEEE Trans. automat. Control. - 1988. - V. aC-33. -P. 732-739.

7 Morse A.S. Invarianții structurali ai sistemelor multivariabile liniare // SIAM J. Control. - 1973. - Nr. 11. - P. 446-465.

8. Aling H., Schumacher J.M. O descompunere canonică de nouă ori pentru sisteme liniare // Int. J. Control. - 1984. - V. 39. - P 779-805.

9. Hautus M.L.J., Heymann H. Linear feedback. O abordare algebrică // SIAM J. Control. - 1978. - Nr. 16. - P. 83-105.

10. Descusse J., Dion J.M. Despre structura la infinit de sisteme decuplabile liniare pătrate // IEEE Trans. automat. Control. - 1982.-V. AC-27. - P. 971-974.

11. Falb PL., Wolovich W. Decupling in the design and synthesis of multi-variable systems // IEEE Trans. automat. Control. - 1967. -V. AC-12. - P 651-669.

12. Dion J.M., Commault C. The minimal delay decoupling problem: feed-back implementation with stability // SIAM J. Control. -1988. - Nr. 26. - P. 66-88.

UDC 681.511.4

CORRECTORI ADAPTATIVI PSEUDOLINEARI AI CARACTERISTICILOR DINAMICE ALE SISTEMELOR DE CONTROL AUTOMAT

M.V. Skorospeshkin

Universitatea Politehnică din Tomsk E-mail: [email protected]

Sunt propuși corectori adaptivi de amplitudine și fază pseudoliniari ai proprietăților dinamice ale sistemelor de control automat. A fost realizat un studiu al proprietăților sistemelor de control automat cu corectori adaptivi. Este prezentată eficiența utilizării corectoarelor adaptative pseudoliniare în sistemele automate de control cu ​​parametri nestaționari.

În sistemele de control automate pentru obiecte ale căror proprietăți se modifică în timp, este necesar să se asigure o modificare intenționată a caracteristicilor dinamice ale dispozitivului de control. În cele mai multe cazuri, acest lucru se realizează prin modificarea parametrilor controlerelor proporțional-integral-derivate (controlere PID). Astfel de abordări sunt descrise, de exemplu, în , cu toate acestea, implementarea acestor abordări este asociată fie cu identificarea, fie cu utilizarea unor metode speciale bazate pe calcule de-a lungul curbei tranzitorii. Ambele abordări necesită un timp semnificativ de reglare.

Această lucrare prezintă rezultatele studierii proprietăților sistemelor automate de control cu ​​un controler PID și corectori secvențiali de amplitudine și fază pseudoliniari adaptivi ai caracteristicilor dinamice. Acest tip de adaptare este caracterizat

faptul că în timpul funcționării sistemului de control parametrii controlerului nu se modifică și corespund setării anterioare punerii în funcțiune a sistemului. În timpul funcționării sistemului de control, în funcție de tipul de corector utilizat, se modifică coeficientul de transmisie al corectorului sau defazajul creat de acesta. Aceste modificări apar numai în acele cazuri în care există fluctuații ale valorii controlate asociate cu o modificare a proprietăților obiectului de control sau din cauza impactului perturbărilor asupra obiectului de control. Și acest lucru permite asigurarea stabilității sistemului și îmbunătățirea calității proceselor tranzitorii.

Alegerea corectoarelor pseudoliniare pentru implementarea sistemului adaptiv este explicată după cum urmează. Corectorii utilizați pentru modificarea proprietăților dinamice ale sistemelor de control automat pot fi împărțiți în trei grupe: liniari, neliniari și pseudoliniari. Principalul dezavantaj al corectoarelor liniare este asociat cu

Ieșire colecție:

CONTROL CU STRUCTURA VARIABILĂ A OBIECTELOR DINAMICE COMPLEXE

Markin Vasily Evghenievici

cand. tehnologie. Științe, profesor asociat, Universitatea de Stat din Moscova Lomonosov adm. G.I. Nevelskoy, Vladivostok

Vorobyov Alexey Yurievici

cand. tehnologie. Științe, profesor asociat, FEFU, Vladivostok

Sarcina reală teoria modernă managementul este crearea de algoritmi și sisteme de control extrem de eficienți pentru gestionarea obiectelor dinamice complexe. Clasa de obiecte dinamice complexe include obiecte precum roboții de manipulare, vehicule subacvatice, mașini pentru prelucrare complexă etc. Caracteristicile unor astfel de obiecte sunt dimensiunile mari model matematic, neliniarități alt felîn modelul matematic, conexiunea multiplicată, precum și incertitudinea structurală și parametrică semnificativă care se manifestă în procesul de funcționare.

Cauzele incertitudinii parametrice pot fi atât proprietățile dinamice ale obiectului însuși (de exemplu, schimbarea configurației manipulatorului duce la o modificare multiplă a momentului redus de inerție), cât și acțiunea mediului. Din punct de vedere matematic, acest tip de incertitudine poate fi estimat după cum urmează:

Unde P i - un parametru. În timpul funcționării, parametrii obiectului pot lua o valoare din intervalul dintre valorile minime și maxime.

Pentru sinteza algoritmilor și sistemelor de control pentru obiecte dinamice complexe aflate în incertitudine, sunt utilizate diverse abordări: adaptiv, robust, rețea neuronală etc. În lucrare, un algoritm de control cu ​​o structură variabilă este folosit ca unul de bază. Sistemele cu structură variabilă (SPS) care funcționează folosind acest algoritm sunt cunoscute de mult timp ca sisteme de relee cu control discontinuu. Un control cu ​​o structură variabilă este de obicei construit sub următoarea formă:

(2)

Unde - ecuația suprafeței de comutare (alunecare) în spațiul de stare R n, care conține coordonatele de fază ale obiectului X 1 ,…X n. În mod tradițional, sunt considerate sisteme de ordinul doi, caz în care spațiul de stare degenerează într-un plan de fază, iar suprafața de comutare degenerează într-o linie de comutare. Ecuația suprafeței de comutare (linie) poate fi liniară sau neliniară. În cel mai simplu caz, linia de comutare este o linie dreaptă. În acest caz, suprafața de comutare este dată de un vector parametru C dimensiuni (n ​​x 1), unde n- ordinea sistemului. Caracteristică sisteme cu structură variabilă (ATS) - prezența așa-numitului mod de alunecare. Modul de alunecare - un mod dinamic special al sistemului, în care mișcarea are loc pe suprafața de comutare s= 0 construit în spațiul de fază R n(Fig. 1).

Poza 1. Modul de alunecare în SPS

Condiția principală pentru existența unui mod de alunecare este definită după cum urmează:

În modul de alunecare, sistemul funcționează în modul de comutare, care teoretic are loc la o frecvență infinit de înaltă. Traiectoria mișcării sistemului este determinată teoretic doar de ecuația liniei de comutare, care nu depinde de parametrii sistemului (de exemplu, de o sarcină variabilă). Procesele tranzitorii în modul de alunecare sunt stabile și monotone. Pentru a asigura proprietăți dinamice acceptabile ale sistemului, este necesară o setare inițială a parametrilor, pentru care se folosește în mod tradițional metoda minimax: vector parametru c este ales astfel încât, pentru orice set de condiții inițiale, condiția de existență a modului de alunecare (3) să fie îndeplinită. Cu alte cuvinte, valorile coeficienților liniei de comutare sunt alese ținând cont de valoarea maximă a parametrului în schimbare pi max(1). Acest lucru face posibilă asigurarea apariției unui mod de alunecare în orice condiții inițiale. În același timp, viteza sistemului (care este determinată și de valorile elementelor vectorului c) devine scăzută. Acesta este unul dintre principalele dezavantaje ale SPS tradiționale. Pentru a crește viteza, se aplică adaptarea prin parametrul modului de alunecare. Algoritmul adaptiv pentru reglarea coeficientului liniei de comutare c are următoarea formă:

(4)

Unde k c - coeficient de proporționalitate, m, m d - valorile curente și respectiv de referință ale parametrului de alunecare.

Lucrarea investighează controlul adaptiv al conducerii unui robot de manipulare. Schema bloc a sistemului de control automat este prezentată în fig. 2.

Desen 2 . Schema structurală a gradului de libertate a sistemului de control al conducerii

Pentru a implementa principiul variabilității structurii, controlul releului este utilizat în lucrare:

La randul lui,

, (6)

Unde c- coeficientul planului de alunecare (de comutare).

Pentru modelarea prin simulare a fost folosit pachetul Simulink inclus în Matlab. Rezultatele simulării sub forma unei traiectorii de fază tridimensionale a sistemului sunt prezentate în Fig. 3.

Figura 3. Traiectorii de fază și procesele temporale ale sistemului de ordinul trei: 1 - fără adaptare, 2 - cu adaptare.

Simularea arată o îmbunătățire semnificativă a performanței atunci când se utilizează controlul adaptiv. În plus, există o îmbunătățire semnificativă a performanței dinamice în comparație cu algoritmii tradiționali de control.

O altă direcție de cercetare este asigurarea unei mai mari robustețe a algoritmilor de control în raport cu parametrii obiectului și controlerului. Astfel, au fost dezvoltați algoritmi de control pentru un obiect dinamic complex de ordin înalt în condiții de incertitudine parametrică semnificativă. Pe baza algoritmilor propuși, sunt sintetizate sisteme de control adaptiv. Au fost efectuate experimente numerice care au demonstrat eficiența ridicată a soluțiilor propuse.

Bibliografie:

1. Dyda A.A., Markin V.E. Sisteme de control cu ​​structură variabilă cu suprafețe de comutare pereche și neliniar deformabile. // Probleme de control. - 2005, nr 1. S. 22-25.

2. Markin V.E. Controlul vitezei suboptimal al obiectelor dinamice complexe aflate în incertitudine. / Proceedings of the XIII Baikal International School-Seminar on Optimization Methods. T. 2 - Irkutsk, 2005. S. 177-181.

3.Teoria sistemelor cu structură variabilă. / Ed. S.V. Emelyanova - M.: Nauka, Ediția principală a literaturii fizice și matematice, 1970 - 592 p.

4. Utkin V.I. Moduri de alunecare în probleme de optimizare și control. - M: Nauka, Ediția principală a literaturii fizice și matematice, 1981 - 368 p.

5.Dyda A.A. Proiectarea algoritmilor VSS adaptivi pentru comenzile robotului manipulator. Proc. Prima conferință de control din Asia. Tokyo, 27-30 iulie 1994. pp 1077-1080.

Introducere. Economie de piataîn Ucraina necesită noi abordări ale managementului: criteriile economice, de eficiență a pieței vin în prim-plan. Progresul științific și tehnic si dinamica Mediul extern forță modernă întreprinderile producătoare se transformă în sisteme mai complexe care necesită noi metode de management. Consolidarea orientării către piață a întreprinderilor, schimbările drastice ale mediului extern necesită dezvoltarea unor sisteme de management competitive menite să dezvolte decizii de management, și, prin urmare, abordări și algoritmi mai eficienți pentru rezolvarea problemelor la scară largă.

Lucrarea a fost realizată în conformitate cu programul științific și tehnic de stat 6.22 - promițător tehnologia de informațieși planuri de sisteme pentru activitățile științifice și științifice-tehnice ale Ordinului Odesa al Institutului Lenin al Forțelor Terestre pentru anul 2004, respectiv, la subiectul lucrărilor de cercetare.

Analiza cercetărilor recente.În prezent, una dintre principalele și mai eficiente abordări pentru rezolvarea problemelor de control la scară largă este descompunerea. Această abordare combină un grup de metode bazate pe descompunerea problemei originale cu dimensiuni înalte în subprobleme, fiecare dintre ele mult mai simplă decât cea inițială și este rezolvată independent de celelalte. Comunicarea între subsarcinile individuale se realizează cu ajutorul unei sarcini de „coordonare”, care este, de asemenea, mai simplă decât cea inițială. Pentru a face acest lucru, problema controlului este adusă într-o formă care satisface cerințele de descompunere, dintre care principalele sunt: ​​aditivitatea (separabilitatea) funcției obiectiv; natura de blocare a restricțiilor; prezența conexiunilor bloc. Cu toate acestea, atunci când se rezolvă probleme practice de sinteză a controlului optim de dimensiuni înalte, este adesea dificil să se satisfacă cerințele enumerate. De exemplu, calitatea sistemului de producție poate fi evaluată după un criteriu de foarte tip general, care pot fi inseparabile în ceea ce privește sarcinile de gestionare a subsistemelor individuale. Prin urmare, atunci când se convertește problema de control originală într-o formă care satisface cerințele de descompunere, diverse simplificări, aproximări și diverse opțiuniîmpărțirea sarcinii în subsarcini locale, de ex. blocuri de constrângeri și interconexiuni. Toți acești factori afectează atât calitatea soluției, cât și complexitatea calculelor atunci când se caută soluția optimă.

Având în vedere absența până în prezent a unor metode de evaluare calitativă a influenței acestor factori asupra calității unei soluții, pare relevantă dezvoltarea unei astfel de metode de rezolvare a unei probleme de dimensiuni mari care să lase o anumită libertate în alegerea structurii probleme locale, precum și satisfacerea și evaluarea impactului diverselor simplificări asupra calității soluțiilor.

Din analiza surselor literare rezultă că metodele numerice acceptabile pentru rezolvarea problemelor de optimizare neliniară sunt asociate cu costuri semnificative ale timpului și memoriei calculatorului, iar utilizarea liniarizării duce la pierderea calității controlului. Prin urmare, este recomandabil ca dezvoltat noua metoda rezolvarea problemei și-a păstrat caracterul neliniar, iar controlul optim a fost determinat în cadrul unei structuri de calcul descentralizate.

Obiectul cercetării îl constituie algoritmii de rezolvare a problemelor de control de dimensiuni mari.

Obiectul cercetării este dezvoltarea unei abordări bazate pe ideea de echivalență sau cvasi-echivalență a problemei inițiale cu dimensiuni mari și a problemei de descompunere a blocurilor corespunzătoare.

Sarcina științifică este de a dezvolta algoritmi, a căror utilizare ar asigura un control optim în cadrul unei structuri descentralizate, fără a fi necesar un schimb iterativ de informații între nivelurile de control.

Scopul lucrării este de a dezvolta și completa elementele de teorie aplicată și instrumente orientate către probleme pentru optimizarea problemelor de control de dimensiuni mari.

Noutatea științifică constă în dezvoltarea unei abordări a sintezei algoritmilor de optimizare pentru probleme de control la scară largă în cadrul unei structuri de calcul descentralizate, în care nu este nevoie de organizarea unui proces iterativ între nivelurile de control.

Material de bază.Fie ca problema considerată a controlului optim al unui sistem dinamic continuu să fie determinată de ecuația diferențială

(1)

conform criteriului

(2)

la

unde - n m este vectorul de control dimensional; - n este o funcție dimensională ale cărei componente sunt diferențiabile continuu în raport cu argumentele; - funcţie scalară convexă, diferenţiabilă; sunt timpii inițial și, respectiv, final.

Pentru a reprezenta obiectul de control (1) ca o serie de subsisteme care interacționează, extindem (1) într-o serie Taylor în raport cu punctul de echilibru

Unde ,

sau

(3)

În expresia (3), A și B sunt părțile bloc-diagonale ale matricelor și, respectiv, cu blocuri și .

și și sunt părți off-diagonale ale și, respectiv.

Prin introducerea unui vector de relație în așa fel încât dat în i – această componentă este determinată de expresie

, (4)

poți scrie ecuațiai-al-lea subsistem

unde - - vector de control dimensional; - - vector de stare dimensională; - n – vector de relație dimensională.

Metoda de descompunere propusă pentru sintetizarea controalelor optime este următoarea. Subsistemul constitutiv

iar ținând cont de relația cu alte subsisteme, numim izolat.

Compoziția i - s i = 1,2,…, P subsisteme reprezintă modelul

(5)

unde și sunt matrici bloc-diagonale cu blocuri și respectiv.

Să formulăm criteriul

, (6)

unde este o matrice bloc-diagonală semidefinită pozitivă

cu blocuri; - matrice bloc-diagonală pozitiv-definită

cu blocuri , - control optim.

Matricele și sunt determinate din condiția de cvasi-echivalență a problemelor (1) – (2) și (5) – (6), care are forma

Aici , ,

Unde .

Pentru a determina elementele matricei, avem un sistem de ecuații algebrice

. (7)

După rezolvarea ecuației (7), avem P probleme de optimizare independente în legătură cu structura bloc-diagonală a matricelor

,

Controlul optim local are forma

, (8)

, satisface liniarul ecuație diferențială.

, . (9)

Soluția globală este compoziția soluțiilor optime

. (10)

Concluzii. Astfel, problema sintezei optime de control pentru problema originală de înaltă dimensiune (1) - (2) se reduce la următoarele: formularea problemelor de optimizare locală (5) - (6); determinarea parametrilor problemelor locale prin formulele (3) si (6); rezolvarea problemelor locale conform (8) - (9); compoziţia soluţiilor locale (10).

Pierderea de calitate în abordarea optimă a sintezei controalelor aproximativ optime poate fi estimată folosind formulele propuse în .

Noua abordare a rezolvării problemelor de control, bazată pe ideea de echivalență, este oferită o problemă inițială de mare dimensiune și conformă unitară offcompozită a unei probleme.

1. Mesarovich M., Mako D., Takahara I. Teoria sistemelor ierarhice pe mai multe niveluri. – M.: Mir, 1973.

2. Aesdon L.S. Optimizarea sistemelor mari. – M.: Mir, 1975.

3. Albrecht E.G. Despre stabilizarea optimă a sistemelor neliniare. – Matematică și mecanică aplicată, 1961, v. 25.

4. Jivoglyadov V.P., Krivenko V.A. Metoda de descompunere pentru probleme de control la scară largă cu criteriu de performanță neseparabil. Rezumate ale celei de-a II-a Conferințe Interuniversitare Unisionale „Matematice, Algoritmice și suport tehnic APCS". Tașkent, 1980.

5. Hassan Mohamed, Sinqh Madan G. Optimizarea pentru sisteme neliniare folosind o nouă metodă pe două niveluri.„Automatica”, 1976, 12, nr. 4.

6. Mahmoud M.S. Optimizare dinamică pe mai multe niveluri pentru o clasă de sisteme neliniare, „Int. J. Control”, 1979, 30, Nr. 6.

7. Krivenko V.A. Transformarea cvasi-echivalentă a modelelor de optimizare în probleme de sinteză a algoritmilor de control. - În cartea: Adaptare și optimizare în sisteme mari. - Frunze, 1985.

8. Krivenko V.A. O metodă de sinteză a algoritmilor de control folosind ideea de modificare a funcției obiectiv. - Frunze, 1985.

9. Rumyantsev V.V. Despre stabilizarea optimă a sistemelor controlate. – Matematică și mecanică aplicată, 1970, nr. 3.

10. Ovezgeldiev A.O., Petrov E.T., Petrov K.E. Sinteza si identificarea modelelor de estimare si optimizare multivariata. - K .: Naukova Dumka, 2002.

Răspunsuri la întrebări