Obiecte de control dinamic de mari dimensiuni. Controlul optim al sistemelor dinamice liniare

REFERINȚE

1. Popov E.V. Sisteme expert în timp real [ Resursa electronica] // Sisteme deschise - 1995. - № 2. - Electron. Dan. - Mod de acces: http://www.osp.ru/text/302/178608/

2. Crossland R., Sims W.J.H., McMahon C.A. Un cadru de modelare orientat pe obiecte pentru reprezentarea incertitudinii în proiectarea variantelor timpurii. // Cercetare în proiectare inginerească - 2003. - № 14. -С. 173-183.

3. Landmark Graphics BERBEC [Resursă electronică] - Electron. Dan. - 2006. - Mod de acces: http://www.geographix.com/ps/vi-ewpg.aspx?navigation_id=1273

4. Schlumberger Merak [Resursa electronică] - Electron. Dan. -2006. - Mod de acces: http://www.slb.com/content/servi-ces/software/valuerisk/index.asp

5. Gensim G2 [Resursa electronica] - Electron. Dan. - 2006. - Mod de acces: - http://www.gensym.com/?p=what_it_is_g2

6. Thurston D.L., Liu T. Design Evaluation of Multiple Attribute Un-

der Incertitudine // Automatizarea sistemelor: cercetare și aplicații.

1991. - V. 1. - Nr. 2. - P. 93-102.

7. Paredis C.J.J., Diaz-Calderon A., Sinha R., Khosla P.K. Modele compuse pentru proiectare bazată pe simulare // Inginerie cu calculatoare. - 2001. - Nr. 17. - P. 112-128.

8. Silich M.P. Tehnologia sistemului: o abordare orientată pe obiecte. - Tomsk: Tom. stat Universitatea de Sisteme de Control și Radioelectronică, 2002. - 224 p.

9. Silich M.P., Starodubtsev GV. Model de obiect de selecție proiecte de investitii dezvoltarea zăcămintelor de petrol și gaze. // Automatizare, telemecanizare și comunicare în industria petrolului. - 2004. - Nr. 11. - S. 16-21.

10. Khabibulina N.Yu., Silich M.P. Caută soluții pe modelul relațiilor funcționale // Tehnologii informaționale

2004. - Nr 9. - S. 27-33.

11. Algoritmul Jess Rete [Resursa electronică] - Electron. Dan. -

2006. - Mod de acces: http://www.jessru-

les.com/jess/docs/70/rete.html

UTILIZAREA CONTROALELOR DE DIMENSIONALITATE EXCESIVA PENTRU AUTONOMIZAREA IEȘIRILOR CONTROLATE ALE OBIECTELOR DE REGLARE MULTIDIMENSIONALĂ

A.M. Malyshenko

Universitatea Politehnică din Tomsk E-mail: [email protected]

Informațiile despre influența controalelor excesului de dimensiune asupra autonomizării ieșirilor obiectelor dinamice liniare staționare sunt sistematizate, sunt propuși algoritmi pentru sinteza precompensatoarelor care oferă un efect similar și feedback asupra stării și ieșirii.

Introducere

Problema controlului autonom (independent) al componentelor ieșirii controlate a unui obiect este una dintre cele mai importante sarcini din punct de vedere practic în sinteza sistemelor de control automat (ACS), poate pentru majoritatea obiectelor de control multidimensionale în ceea ce privește ieșire. Și-a găsit reflectarea în multe publicații, inclusiv în monografii, în special în.

Problemele autonomizării pentru obiectele multidimensionale liniare staționare au fost rezolvate mai detaliat. Cel mai adesea, problemele de autonomizare (decuplare) a fiecăreia dintre ieșirile obiectului sunt puse și rezolvate, de altfel, vectorul de control (RCV) care nu are o dimensiune în exces m. Datorită imposibilității de principiu a unei astfel de soluții pentru multe obiecte de tipul specificat, această problemă este modificată într-o problemă mai generală de decuplare linie cu linie, definită ca problema Morgan, când pentru un obiect cu p ieșiri este necesar să se determine p seturi de controale m>p și legea de control corespunzătoare, cu care fiecare dintre seturi afectează doar o singură ieșire. Astfel, soluția este determinată în clasa ACS cu o dimensiune în exces a vectorului de control conform

comparativ cu dimensiunea vectorului variabilelor controlate.

Alături de afirmațiile de mai sus, problemele de autonomizare sunt formulate și ca probleme de autonomizare bloc cu bloc (decuplare), când independența este asigurată doar între coordonatele de ieșire incluse în diferitele lor blocuri, dar nu și în cadrul acestor blocuri (grupuri), precum și ca autonomizare în cascadă. În acest din urmă caz, dependența coordonatelor de ieșire între ele este de natură „în lanț” (fiecare ulterioară depinde doar de cele anterioare, dar nu și de cele ulterioare din seria stabilită pentru ele). Și în aceste cazuri, rezolvarea problemelor de autonomizare necesită adesea redundanță în dimensiunea vectorului de control față de numărul de variabile controlate.

Condiţii de rezolvare a problemelor de autonomizare

Soluțiile la problemele de autonomizare se găsesc de regulă în clasa precompensatoarelor liniare sau a feedback-urilor liniare statice sau dinamice, iar în aceste scopuri sunt utilizate atât aparatul matricelor de transfer (cel mai adesea), cât și metodele din spațiul de stare, abordări structurale și geometrice. Ultimele două

abordările le completează cu succes pe primele, întrucât de fapt numai cu ajutorul lor s-au putut stabili majoritatea condițiilor cunoscute de rezolvare a problemelor de autonomizare [6], pentru a da interpretări mai profunde ale soluțiilor acestora.

Când se utilizează pentru autonomizare (decuplare) ieșirile unui obiect precompensator multidimensional liniar, adică un controler care implementează control strict în funcția de setare ¡d(t) fără părere, matricea sa de transfer Wy(s) este aleasă din condiție

Wœ(s) = Wo(s) -W y(s), (1)

unde Wo(s) este matricea de transfer a obiectului de control și Wx(s) este matricea de transfer dorită a sistemului sintetizat care îndeplinește condițiile pentru decuplarea acestuia prin ieșiri.

Feedback-ul static liniar utilizat în aceste scopuri corespunde algoritmului de control

u(t) = F x(t) + G /u(t), (2)

si dinamic -

u (s) = F (s) x(s) + G fi(s). (3)

Aceste feedback-uri sunt realizabile atât cu un regulat (matricea G este inversabilă), cât și cu o transformare neregulată a specificației ¡d(t) a sistemului.

Conform celor de mai sus, feedback-urile dinamice pot fi definite ca un caz special de extensii dinamice care completează obiectul descris de sistemul de ecuații sub forma „input-state-output” de forma

x (t) = Ax (t) + Bu (t), y (t) = C x (t),

ua (t) p _ xa (t)_

unde xa(/) = ua(/), sau prin ecuația operatorului generalizat

și (5) = G(5) x(5") + O(5) ¡l(5).

Controlul unui obiect cu un model de vedere conform algoritmului (2) dă matricea finală de transfer a sistemului

W^) \u003d C (51 - (A + B G (5))) ~ 1BO \u003d

J0(5) . (1 - G(5)(51 - A) -1 B) -1 O = W0(5) . H(5), (4)

unde Wo(s)=C(sI-AylB și #(£) sunt, respectiv, matricele de transfer ale obiectului și precompensatorul, care este echivalent în ceea ce privește efectul de feedback; I este matricea de identitate a dimensiunii nxn.

Transformarea Morse canonică g=(T,F,G,R,S) utilizată în abordarea geometrică cu T,G,S inversabilă a matricei de transfer Wo(s) a obiectului „Lo(C,A,B)

(A, B, C) ^ (TA + BF + R C)T,T ~lBG, SCT)

reduce Wo(s) la transformările sale bicauzale stânga și dreapta ale formei

W0(s) ^ Bi(s)-W0(s)-B2(s), (5)

unde B1(s) = S_1;

B2(s) = -G.

Din (4) și (5) rezultă că static regulat

Feedback-urile (2) și dinamice (3) pot fi interpretate ca precompensatori bicauzali, adică pot fi înlocuiți cu precompensatori bicauzali care au efect echivalent. În raport cu cel de-al doilea, afirmația inversă este și ea adevărată, totuși, precompensatorul bicauzal H(s) se realizează după forma unui feedback static liniar echivalent doar pentru un obiect cu Wo(s) de implementare minimă și dacă și numai dacă Wo(s) și H-1(s) - matrici polinomiale.

Din (5), putem, de asemenea, concluziona că precompensatorii bicauzali și feedback-urile regulate corespunzătoare lor statice și dinamice nu pot schimba structura sistemului la infinit și proprietățile acestuia, în special, inerția minimă (întârzieri) canalelor de control autonome. Aceste modificări pot fi realizate numai în clasa algoritmilor de control neregulat.

Condițiile de rezolvare a problemelor de autonomizare sunt legate de proprietățile structurale ale obiectelor gestionate, descrise de listele lor de invarianți. Mai mult, setul necesar pentru aceasta este determinat de ce algoritm (compensator) este planificat să fie utilizat în aceste scopuri. În consecință, pentru a determina feedback-urile dinamice de decuplare realizabile, este suficient să existe informații despre structura de intrare-ieșire a obiectului, încorporate în matricea sa de transfer sau în partea minimă a descrierii din spațiul de stare. Rezolvarea acestei probleme folosind feedback-ul de stare statică este stabilită de structura interna obiect de control, în special pe baza studiului matricelor sale de sistem Rosenbrock sau Kronecker sau descompunere canonică Morse.

Precompensatorul care decuplă ieșirile obiectului în funcție de rânduri poate fi determinat din (1) dacă și numai dacă m>p, iar matricele [ Wo(s) : W(s)] și Wo(s) au aceleași structura formei Smith-McMillan la infinit.

Dacă matricea de transfer a obiectului are rang de rând complet ( conditie necesara linia-

decuplarea asigurată numai la t>p), apoi decuplarea poate fi asigurată de un precompensator cu o matrice de transfer

unde Wnob(s) este inversul drept al lui W0(s) și k este un număr întreg care face din Wn(s) o matrice proprie.

Se dovedește că decuplarea cu feedback static obișnuit (2) este posibilă dacă și numai dacă decuplarea cu feedback dinamic obișnuit este posibilă

(3). La rândul său, conform , aceasta din urmă este posibilă dacă și numai dacă structura infinită a matricei de transfer a obiectului este unirea structurilor infinite ale rândurilor sale.

Regularitatea feedback-ului implică de fapt că obiectul nu are redundanță în dimensiunea vectorului de control (m=p). Prin urmare, dacă decuplarea nu este realizabilă în acest caz, iar obiectul controlat are un potențial IRTI, atunci pentru a obține o autonomie de control a fiecăreia dintre valorile de ieșire este recomandabil să se folosească această redundanță sau unele modificări constructive în obiectul de control. pentru a-și realiza mai întâi IRTI. De asemenea, trebuie avut în vedere că în situațiile în care m>p, feedback-ul regulat poate să nu conducă la rezultatul dorit, în timp ce în clasa precompensatoarelor neregulate sau același feedback, acesta poate fi obținut. De exemplu, pentru un obiect cu o matrice de transfer

Feedback-urile neregulate corespund unor precompensatori pur și simplu cauzali (strict adecvati). Prin urmare, sistemele pe care le formează cu obiectul de control nu vor păstra în general structura obiectului controlat la infinit. Acest lucru, în special, poate fi utilizat pentru a asigura stabilitatea sistemului sintetizat. Reamintim că încă din 1999 s-a dovedit că, cu ajutorul feedback-ului regulat, decuplarea și stabilitatea sistemului pot fi realizate simultan dacă și numai dacă obiectul nu are zerouri invariante instabile ale relației. Ultimele sunt acele zerouri invariante £0(C, A, B) care nu sunt la fel

zerouri temporale și invariante ale subsistemelor de rând £;(C,A,B). Aici c, /e 1,p este /-lea rând al matricei C a obiectului. Aceste zerouri, în funcție de condițiile de decuplare, determină restricțiile privind alegerea polilor sistemului sintetizat. În acest caz, setul de poli fix (nepermițând alocare arbitrară) ai unui sistem decuplat de ieșiri trebuie să includă în mod necesar toate zerourile invariante ale relației.

Astfel, algoritmul de control în cazul zerourilor invariante drepte ale relației din obiect trebuie ales din condiția ca acesta să poată face corecția necesară condițiilor de stabilitate în proprietățile structurale ale sistemului. Astfel, așa cum se arată mai sus, pot fi algoritmi cu feedback neregulat, care sunt de fapt implementați în clasa de sisteme cu IRVE.

O soluție completă la problema decuplării folosind feedback pentru obiectele cu zerouri invariante drepte ale relației nu a fost încă obținută. În special, pentru implementarea sa cu feedback static, este necesar, după cum urmează din , să se facă structura subspațiului de controlabilitate maximă conținută în KerC suficient de bogată pentru ca structura infinită să crească la lista ordinelor esențiale de obiecte. Acestea din urmă caracterizează gradul de dependență la infinit între ieșirile individuale și toate celelalte și pot fi calculate prin formula:

pgv \u003d HPg -X Pg g \u003d 1 g \u003d 1

ieșirile nu sunt decuplate de feedback obișnuit, ci sunt decuplate de un precompensator cu matrice de transfer static

Aici n este ordinul zeroului infinit al sistemului s¡ sub forma matricei de transfer Smith-McMillan a obiectului. Prima sumă din (6) este determinată pentru sistemul £0(C, A, B) ca întreg, iar a doua - pentru CS;, A, B), unde C / este matricea C fără /- rândul. Ordinele esențiale indicate aici determină structura minimă infinită care poate fi obținută dintr-un sistem decuplat.

Pentru feedback-ul dinamic neregulat se stabilește doar condiția de decuplare, ceea ce se rezumă la faptul că redundanța dimensiunii vectorului de control (m-p) trebuie să fie mai mare sau egală cu deficitul rangului coloanei la infinitul matricei interactorului W0 (s), iar acesta din urmă trebuie să aibă rang de rând complet. Interactorul specificat al matricei de transfer a obiectului W0(s) este matricea inversă formei hermitiene a lui W0(s). În treacăt, observăm că ordinea esențială /-a a unui obiect poate fi determinată prin interactorul matricei sale de transfer și este egală cu gradul polinom al coloanei --a.

Deciziile generale pentru sinteza algoritmilor de control din clasa ACS cu IRVU chiar pt obiecte liniare care oferă autonomie

rezultatele lor nu au fost încă primite. Utilizarea controalelor de dimensiune în exces în rezolvarea problemelor de decuplare linie cu linie (autonomizarea ieșirilor) a unui obiect este de fapt necesară.

Aceasta este o condiție importantă în acele cazuri în care obiectul controlat nu îndeplinește condițiile pentru rezolvarea acestei probleme din clasa precompensatoarelor bicauzale și feedback-urile corespunzătoare.

BIBLIOGRAFIE

1. Wonham M. Sisteme de control multidimensionale liniare. - M.: Nauka, 1980. - 375 p.

2. Rosenbrock H.H. Teoria multivariabilă și spațiul stărilor. - Londra: Nelson, 1970. - 257 p.

3. Meerov M. V. Cercetarea și optimizarea sistemelor de control multiconectate. - M.: Nauka, 1986. - 233 p.

4. Malyshenko A.M. Sisteme de control automat cu dimensiunea excesivă a vectorului de control. - Tomsk: Editura Politehnicii din Tomsk. un-ta, 2005. - 302 p.

5. Commault C., Lafay J.F., Malabre M. Structure of linear systems. Abordări geometrice și matrice de transfer // Cybernetika. - 1991.

V. 27. - Nr. 3. - P. 170-185.

6. Descusse J., Lafay J.F., Malabre M. Solution of Morgan’s problem // IEEE Trans. automat. Control. - 1988. - V. aC-33. -P. 732-739.

7 Morse A.S. Invarianții structurali ai sistemelor multivariabile liniare // SIAM J. Control. - 1973. - Nr. 11. - P. 446-465.

8. Aling H., Schumacher J.M. O descompunere canonică de nouă ori pentru sisteme liniare // Int. J. Control. - 1984. - V. 39. - P 779-805.

9. Hautus M.L.J., Heymann H. Linear feedback. O abordare algebrică // SIAM J. Control. - 1978. - Nr. 16. - P. 83-105.

10. Descusse J., Dion J.M. Despre structura la infinit de sisteme decuplabile liniare pătrate // IEEE Trans. automat. Control. - 1982.-V. AC-27. - P. 971-974.

11. Falb PL., Wolovich W. Decupling in the design and synthesis of multi-variable systems // IEEE Trans. automat. Control. - 1967. -V. AC-12. - P 651-669.

12. Dion J.M., Commault C. The minimal delay decoupling problem: feed-back implementation with stability // SIAM J. Control. -1988. - Nr. 26. - P. 66-88.

UDC 681.511.4

CORRECTORI ADAPTATIVI PSEUDOLINEARI AI CARACTERISTICILOR DINAMICE ALE SISTEMELOR DE CONTROL AUTOMAT

M.V. Skorospeshkin

Universitatea Politehnică din Tomsk E-mail: [email protected]

Sunt propuși corectori adaptivi de amplitudine și fază pseudoliniari ai proprietăților dinamice ale sistemelor de control automat. A fost realizat un studiu al proprietăților sistemelor de control automat cu corectori adaptivi. Este prezentată eficiența utilizării corectoarelor adaptative pseudoliniare în sistemele automate de control cu ​​parametri nestaționari.

În sistemele de control automate pentru obiecte ale căror proprietăți se modifică în timp, este necesar să se asigure o modificare intenționată a caracteristicilor dinamice ale dispozitivului de control. În cele mai multe cazuri, acest lucru se realizează prin modificarea parametrilor controlerelor proporțional-integral-derivate (controlere PID). Astfel de abordări sunt descrise, de exemplu, în , cu toate acestea, implementarea acestor abordări este asociată fie cu identificarea, fie cu utilizarea unor metode speciale bazate pe calcule de-a lungul curbei tranzitorii. Ambele abordări necesită un timp semnificativ de reglare.

Această lucrare prezintă rezultatele studierii proprietăților sistemelor automate de control cu ​​un controler PID și corectori secvențiali de amplitudine și fază pseudoliniari adaptivi ai caracteristicilor dinamice. Acest tip de adaptare este caracterizat

faptul că în timpul funcționării sistemului de control parametrii controlerului nu se modifică și corespund setării anterioare punerii în funcțiune a sistemului. În timpul funcționării sistemului de control, în funcție de tipul de corector utilizat, se modifică coeficientul de transmisie al corectorului sau defazajul creat de acesta. Aceste modificări apar numai în acele cazuri în care există fluctuații ale valorii controlate asociate cu o modificare a proprietăților obiectului de control sau din cauza impactului perturbărilor asupra obiectului de control. Și acest lucru permite asigurarea stabilității sistemului și îmbunătățirea calității proceselor tranzitorii.

Alegerea corectoarelor pseudoliniare pentru implementarea sistemului adaptiv este explicată după cum urmează. Corectorii utilizați pentru modificarea proprietăților dinamice ale sistemelor de control automat pot fi împărțiți în trei grupe: liniari, neliniari și pseudoliniari. Principalul dezavantaj al corectoarelor liniare este asociat cu

În exemplele luate în considerare (problema de încărcare a rucsacului și problema de fiabilitate), a fost folosită o singură variabilă pentru a descrie stările sistemului, iar controlul a fost atribuit și unei singure variabile. În cazul general, în modelele de programare dinamică, stările și controalele pot fi descrise folosind mai multe variabile care formează vectorii de stare și de control.

O creștere a numărului de variabile de stare determină o creștere a numărului Opțiuni decizii asociate fiecărei etape. Acest lucru poate duce la așa-numita problemă „blestem al dimensionalității”, care este un obstacol serios în rezolvarea problemelor de programare dinamică medie și mari.

De exemplu, luați în considerare problema încărcării unui rucsac, dar cu două constrângeri (de exemplu, constrângeri de greutate și volum):

Unde , . Deoarece sarcina are două tipuri de resurse, este necesar să introduceți doi parametri de stare și . Indicați , , . Apoi restricțiile (1) pot fi reduse la forma:

Unde . În ecuațiile recurente ale metodei de programare dinamică pentru problema „rucsac” cu două constrângeri (1):

fiecare dintre funcții este o funcție a două variabile. Dacă fiecare dintre variabile poate lua 10 2 valori, atunci funcția trebuie tabelată la 10 4 puncte. În cazul a trei parametri, în aceleași ipoteze, este necesar să se calculeze 10 8 puterile valorilor funcțiilor.

Deci cel mai mare obstacol aplicație practică programarea dinamică se dovedește a fi o serie de parametri problematici.

Problema de gestionare a stocurilor.

Problema managementului stocurilor apare atunci când este necesar să se creeze un stoc de resurse materiale sau mărfuri pentru a satisface cererea pentru un interval de timp dat (finit sau infinit). În orice sarcină de gestionare a stocurilor, este necesar să se determine cantitatea de produse comandate și momentul plasării comenzilor. Cererea poate fi satisfăcută prin crearea de stoc o dată pentru întreaga perioadă de timp luată în considerare sau prin crearea de stoc pentru fiecare unitate de timp din acea perioadă. Primul caz corespunde unei oferte în exces în raport cu o unitate de timp, al doilea - o ofertă insuficientă în raport cu o perioadă întreagă de timp.

Supraprovizionarea necesită o investiție de capital mai mare (pe unitate de timp), dar epuizările de stoc au loc mai rar și comenzile sunt plasate mai rar. Pe de altă parte, cu o aprovizionare insuficientă, specifică investitii de capital sunt în scădere, dar frecvența comenzilor și riscul penuriei sunt în creștere. Pentru oricare dintre aceste cazuri extreme, sunt caracteristice pierderi economice semnificative. Astfel, deciziile privind mărimea unei comenzi și momentul plasării acesteia se pot baza pe minimizarea funcției corespunzătoare a costurilor totale, inclusiv a costurilor datorate pierderilor din stocul în exces și lipsuri.

Aceste costuri includ:

1. Costuri de achizitie care devin deosebite un factor important unde prețul unitar este exprimat ca reduceri de volum atunci când prețul unitar scade pe măsură ce dimensiunea comenzii crește.

2. Costurile de procesare a comenzii sunt costuri fixe asociat cu plasarea acestuia. Când cererea este satisfăcută într-o anumită perioadă de timp prin plasarea de comenzi mai mici (mai des), costurile cresc în comparație cu cazul în care cererea este satisfăcută prin plasarea mai multor comenzi mari(și prin urmare mai rar).

3. Costurile de păstrare a stocurilor, care sunt costurile de păstrare a stocurilor (dobânda la capitalul investit, amortizare și costuri de exploatare), cresc de obicei odată cu nivelul stocurilor.

4. Pierderi din lipsuri din cauza lipsei stocului de produse necesare. Ele sunt de obicei asociate cu sancțiuni economice din partea consumatorilor, potențiala pierdere de profit. Figura 1 ilustrează dependența tipurilor de costuri considerate de nivelul stocului de produse. În practică, o componentă a costurilor poate fi ignorată dacă nu constituie o parte semnificativă din costurile totale. Acest lucru duce la o simplificare a modelelor de gestionare a stocurilor.

Tipuri de modele de gestionare a stocurilor.

O mare varietate de modele de gestionare a stocurilor este determinată de natura cererii de produse, care poate fi deterministă sau probabilistică. Figura 2 prezintă schema de clasificare a cererii adoptată în modelele de gestionare a stocurilor.

Cererea statică deterministă presupune că intensitatea consumului rămâne neschimbată în timp. Cerere dinamică - Cererea este cunoscută, dar se modifică în timp.

Natura cererii poate fi descrisă cel mai precis prin intermediul distribuțiilor probabilistice non-staționare. Cu toate acestea, din punct de vedere matematic, modelul devine mult mai complicat, mai ales pe măsură ce perioada de timp luată în considerare crește.

În esență, clasificarea din Fig. 2 poate fi considerată ca o reprezentare a diferitelor niveluri de abstractizare a descrierii cererii.

La primul nivel, se presupune că distribuția probabilității cererii este staționară în timp, adică. aceeași funcție de distribuție a probabilității este utilizată în toate perioadele de timp studiate. Cu această ipoteză, efectul fluctuațiilor sezoniere ale cererii nu este luat în considerare în model.

La al doilea nivel de abstractizare se iau în considerare modificările cererii de la o perioadă la alta. Cu toate acestea, funcțiile de distribuție nu sunt aplicate, iar nevoile din fiecare perioadă sunt descrise de cererea medie. Această simplificare înseamnă că elementul de risc în gestionarea stocurilor nu este luat în considerare. Dar permite studierea fluctuațiilor sezoniere ale cererii, care, din cauza dificultăților analitice și de calcul, nu pot fi luate în considerare într-un model probabilistic.

La al treilea nivel de simplificare, se presupune că cererea în orice perioadă este egală cu valoarea medie a cererii cunoscute pentru toate perioadele luate în considerare, de exemplu. estimați-i intensitatea constantă.

Natura cererii este unul dintre factorii principali în construirea unui model de management al stocurilor, dar există și alți factori care influențează alegerea tipului de model.

1. Întârziere la livrări. Odată ce o comandă a fost plasată, aceasta poate fi livrată imediat sau poate dura ceva timp până la finalizare. Intervalul de timp dintre momentul plasării unei comenzi și livrarea acesteia se numește întârziere de livrare. Această valoare poate fi deterministă sau aleatorie.

2. Reaprovizionare stoc. Procesul de reaprovizionare a stocurilor poate fi efectuat instantaneu sau uniform în timp.

3. Perioada de timp determină intervalul în care nivelul stocurilor este ajustat. În funcție de perioada de timp în care este posibil să se prezică în mod fiabil stocul, perioada luată în considerare este considerată finită sau infinită.

4. Numărul de puncte de stocare. Un sistem de gestionare a stocurilor poate include mai multe puncte de stocare. În unele cazuri, aceste puncte sunt organizate în așa fel încât unul acționează ca furnizor pentru altul. Această schemă este uneori implementată la diferite niveluri, astfel încât un punct consumator de un nivel poate deveni un punct furnizor al altuia. În acest caz, există un sistem de control cu ​​o structură ramificată.

5. Numărul de tipuri de produse.În sistemul de management al stocurilor pot apărea mai mult de un tip de produs. Acest factor este luat în considerare cu condiția să existe o anumită dependență între tipurile de produse. Deci, pentru produse diferite, se poate folosi același depozit, sau producția lor poate fi efectuată cu restricții asupra activelor totale de producție.

Modele deterministe de gestionare a stocurilor.

1.Model de definiție generalizată deterministă dimensiune optimă loturi de produse în ipoteza unui deficit.

Sistemul de management al stocurilor este considerat atunci când produsele sunt livrate la depozit direct din linia de producție cu o intensitate constantă de unități de producție pe unitatea de timp. La atingerea unui anumit nivel de stoc Q producția este oprită. Reluarea producției și livrarea produselor la depozit se realizează în momentul în care cererea nesatisfăcută atinge o anumită valoare G. Stocul este cheltuit cu intensitate. Sunt cunoscute valorile următorilor parametri: - costul depozitării unei unități de mărfuri într-un depozit pe unitatea de timp; - costul organizarii unei comenzi (un lot de produse); - pierderi din cererea nesatisfăcută (penalizare). Se impune aflarea volumului optim al unui lot de produse si a intervalului de timp dintre punctele de reluare a livrarii dupa criteriul costurilor totale minime din functionarea sistemului de management al stocurilor.

Grafic, condițiile problemei sunt prezentate în Fig.3.

Din figură se poate observa că reaprovizionarea și epuizarea stocului se efectuează simultan în intervalul fiecărui ciclu. stoc acumulat Q consumat complet pe parcursul intervalului. Pe parcursul intervalului, cererea nu este satisfăcută, ci se acumulează. Cerere nesatisfăcută G acoperit în interval .

Valoarea este numită managementul stocurilor pe ciclu complet.- stoc marginal de produse, G- deficit marginal de produse.

Evident, nivelul actual al inventarului de produse este determinat de formula:

Din triunghiul OAB urmează:

În mod similar, putem defini și (2)

Din asemănarea triunghiurilor OAC și CEF, putem scrie Din egalitate rezultă că (3)

Expresia (3), ținând cont de (1), va fi rescrisă:

Apoi valoare totală costul reaprovizionarii, depozitarea unui stoc de produse și o eventuală penalizare pentru cererea nesatisfăcătoare vor fi determinate de expresia:

Dacă aducem costurile pe unitatea de timp, atunci expresia pentru costurile unitare va arăta astfel:

Deci există o funcție a două argumente Qși T, ale căror valori optime sunt determinate ca soluție a problemei:

Pentru a găsi minimul unei funcții a două argumente, este necesar și suficient să rezolvăm sistemul de ecuații:

Aceasta rezultă din faptul că funcția este o funcție concavă în raport cu argumentele sale. Rezolvarea sistemului de ecuații (5) dă următoarele rădăcini nenegative:

Costul total minim pe unitatea de timp va fi:

Putem lua în considerare cazuri speciale.

1. Lipsa de produse nu este permisă. Rezolvarea problemei în acest caz se obține din formula (6)-(8), dacă punem o penalizare Atunci С 1 /С 3 =0 și valorile optime ale valorilor căutate vor fi:

Acest caz corespunde graficului modificărilor nivelului stocului în timp:

2. Repopularea este instantanee. În acest caz, și în consecință

Graficul nivelului stocului arată astfel:

3. Lipsa nu este permisă, stocurile sunt reaprovizionate instantaneu, adică. . Apoi urmează:

Aceste formule sunt numite formule Wilson, iar valoarea este dimensiunea economică a lotului.

Graficul nivelului stocului arată astfel:

Modele dinamice de gestionare a stocurilor.

În prelegerile anterioare, au fost luate în considerare probleme statice de gestionare a stocurilor pentru o perioadă. Într-un număr de astfel de probleme, au fost obținute expresii analitice pentru nivelul optim de stoc.

Dacă se ia în considerare funcționarea sistemului pe n perioade, iar cererea nu este constantă, se ajunge la modele dinamice de gestionare a stocurilor. Aceste probleme, de regulă, nu pot fi soluționate analitic, totuși, nivelurile optime de stoc pentru fiecare perioadă pot fi calculate folosind metoda de programare dinamică.

Se are în vedere problema gestiunii stocurilor, când cererea pentru perioada j-a (j=1,n) este determinată de valoarea . Fie nivelul stocului de la începutul perioadei j-a și să fie volumul de reaprovizionare a stocurilor în această perioadă. Reaprovizionarea stocurilor se efectuează instantaneu la începutul perioadei, lipsa de produse nu este permisă. Grafic, condițiile problemei sunt prezentate în Fig.1.

Lăsa - costul total pentru depozitare și reaprovizionare în a j-a perioadă. Valoarea este setată și , deoarece la sfarsitul functionarii sistemelor nu este necesara rezerva.

Se impune determinarea volumelor optime de comenzi in fiecare perioada dupa criteriul costurilor totale minime.

Modelul matematic al problemei va arăta ca

aici este necesar să se determine , care ar satisface constrângerile (2)-(6) și ar minimiza funcția obiectiv (1).

În acest model, funcția obiectiv este separabilă, constrângerile (2) au o formă recurentă. Și această caracteristică a modelului sugerează posibilitatea utilizării metodei de programare dinamică pentru a o rezolva. Modelul (1)-(6) diferă de modelul standard de programare dinamică prin prezența unei condiții; această condiție poate fi transformată după cum urmează. Din (2) și (3) rezultă că , sau poate fi scris

Apoi, din (7), ținând cont de (4), se determină gama de valori posibile: sau în cele din urmă:

Astfel, condiția (3)-(4) este înlocuită cu condiția (8), iar modelul (1),(2),(5)-(6),(8) are o formă standard pentru metoda de programare dinamică.

În conformitate cu metoda de programare dinamică, soluția acestei probleme constă în următorii pași:

Rezultă din constrângerea (12)-(14).(j=2,n).

Susținut mișcare inversă algoritm, ca urmare, se găsesc valorile optime ale variabilelor necesare. Valoarea minimă a funcției obiectiv (1) este determinată de valoare

AGENȚIA FEDERALĂ PENTRU EDUCAȚIE

INSTITUȚIA DE ÎNVĂȚĂMÂNT DE STAT DE ÎNVĂȚĂMUL PROFESIONAL SUPERIOR „UNIVERSITATEA AEROSPAȚIALĂ DE STAT SAMARA numită după Academicianul S.P.KOROLEV”

Y. Zabolotnov

CONTROL OPTIM AL SISTEMELOR DINAMICE CONTINUE

Aprobat de Consiliul Editorial și de Editură al Universității ca ghid de studiu

SAMARA 2005

UDC 519.9+534.1

Recenzători: S.A. Ișkov, L.V. Kudiurov

Zabolotnov Yu.

Control optim sisteme dinamice continue: manual. indemnizatie / Y. Zabolotnov; Samar. stat aerospațială un-t. Samara, 2005. 149 p. : bolnav.

Manualul include o descriere a metodelor de control optim al sistemelor dinamice. O atenție deosebită este acordată soluționării optime a problemei de stabilizare pentru sistemele dinamice liniare. Odată cu prezentarea metodelor clasice de control optim al sistemelor liniare, bazate în principal pe principiul de programare dinamică Bellman, se are în vedere controlul optim aproximativ al sistemelor dinamice oscilatorii folosind metoda medierii.

Materialul manualului este inclus în cursul prelegerilor " Baza teoretica control automatizat”, citit de autor pentru studenții specialității 230102 - sisteme automatizate prelucrarea şi managementul informaţiei în departamente sisteme de informareși tehnologie, matematică și mecanică SSAU. Cu toate acestea, manualul poate fi util pentru studenții altor specialități atunci când studiază teoria controlului optim al sistemelor dinamice.

CUVÂNT ÎNAINTE ……………………………………………………. 5

1. PRINCIPALE PREVEDERI TEORETICE ALE CONTROLULUI OPTIM AL SISTEMELOR DINAMICE …………………………….…………………………….. 8

1.1. Enunțarea problemei controlului optim al sistemelor dinamice …………………………….…...8

1.2. Control optim software și problemă

stabilizare ………………………………………………………. unsprezece

1.3. Mișcarea neperturbată și perturbată a unui sistem dinamic ……………………………………………….………….. 12

1.4. Enunțarea problemei stabilizării optime a mișcării pentru un sistem dinamic liniar…………………………………..… 14

2. CONTROL ŞI OBSERVABILITATE

SISTEME DINAMICE ……………………………………………….….16

2.1. Transformări similare ale sistemelor dinamice liniare.16

2.2. Controlabilitatea sistemelor dinamice……………………….18

2.3. Observabilitatea sistemelor dinamice ……………………….21

3. PRINCIPIUL PROGRAMĂRII DINAMICĂ BELLMAN ȘI TEORIA STABILITĂȚII LIAPUNOV …….24

3.1. Principiul de programare dinamică Bellman …….24

3.2. Controlul optim al sistemelor dinamice liniare …………………………………………………………..………… 29

3.3. Teoria stabilității lui Lyapunov …………………………………31

3.4. Legătura metodei de programare dinamică cu teoria stabilității lui Lyapunov ……………………………………… ... 37

4. DETERMINAREA CONTROLULUI OPTIM PENTRU SISTEME DINAMICE LINEARE ………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………39

4.1. Rezolvarea ecuației Bellman pentru sisteme dinamice liniare staționare..…………………………………………… 39

4.2. Rezolvarea ecuației Bellman pentru sisteme dinamice liniare nestaționare..…………………………………………………………… 41

4.3. Despre alegerea criteriului de optimitate în rezolvarea problemei stabilizării …………………………………………………………………….43

4.4. Exemplu alegere optimă coeficienții controlerului

la controlul unui sistem liniar de ordinul doi....……….. 47

5. SISTEME OSCILATORIE DINAMICE………….56

5.1. Mici oscilații ale sistemelor dinamice………….…56

5.2. Controlabilitatea și observabilitatea sistemelor dinamice liniare oscilatorii ………………………………………………………. 65

5.3. Metoda parametrilor mici……………………………………………….. 68

5.4. Metoda de mediere…………………………………………….… 72

5.5. Metoda de mediere pentru un sistem cu un grad de libertate.. 76

5.6. Metoda de mediere pentru sisteme cu mai multe rapide

faze ……………………………………………………………………. 79

5.7. Metoda de mediere pentru un sistem cu două puteri

libertate ………………………………………………………..…… 86

6. CONTROL APROXIMAD OPTIM AL SISTEMELOR OSCILATORII DINAMICE.... 93

6.1. Controlul unui sistem oscilator liniar cu un grad de libertate …………………………………………………………….… 93

6.2. Controlul unui sistem oscilator liniar cu două grade de libertate..………………………………………………. 106

6.3. Influența perturbațiilor neliniare asupra soluționării problemei de control optim …………//………………………………… 115

LISTA SURSELOR UTILIZATE …..…………127

ANEXA 1. Transformări similare ale sistemelor dinamice liniare ……………………………………………..…129

ANEXA 2. Studiu calitativ al sistemelor dinamice liniare pe planul de fază …………………… 134

ANEXA 3. Diferențierea funcțiilor cu un argument vectorial …………………………………………………………... 142

ANEXA 4. Concepte de bază ale teoriei seriilor asimptotice …………………………………………………………………………………. 143

ANEXA 5. Medierea trigonometrică

funcții ………………………………………..………………….. 148

CUVÂNT ÎNAINTE

În mod tradițional, în teoria clasică a controlului sunt luate în considerare două probleme principale: problema determinării mișcării programului unui sistem dinamic și problema proiectării controlerelor care implementează mișcarea programului dat a obiectului de control (problema de stabilizare). Accentul manualului este pe rezolvarea problemei de stabilizare, care este de obicei rezolvată folosind modele dinamice liniare. În comparație cu sistemele statice, în sistemele dinamice procesul se dezvoltă în timp, iar controlul în cazul general este și el în funcție de timp.

Când se rezolvă problema de stabilizare, se poate folosi diverse metode. Aici, în primul rând, trebuie remarcate metodele clasice ale teoriei controlului automat, bazate pe aparatul de funcții de transfer și caracteristici de frecvență. Cu toate acestea, apariția computerelor de mare viteză a dus la dezvoltarea de noi metode care stau la baza teoria modernă management. În teoria modernă a controlului, comportamentul sistemului este descris în spațiul stărilor, iar controlul sistemului se reduce la determinarea acțiunilor optime, într-un anumit sens, de control asupra sistemului în fiecare moment de timp. Mai mult, modelele matematice ale sistemelor dinamice continue sunt de obicei sisteme de ecuații diferențiale obișnuite, în care variabila independentă este timpul.

La rezolvarea problemei de stabilizare, optimitatea controlului se înțelege în sensul minimului unui anumit criteriu de optimitate (funcțional), care se scrie ca integrală definită. Criteriul de optimitate poate caracteriza diverse aspecte ale calității controlului: costuri de control (energie, combustibil etc.), erori de control (pentru diverse variabile de stare), etc. Pentru a determina controlul optim în rezolvarea problemei de stabilizare se utilizează principiul clasic de programare dinamică Bellman.

Prima secțiune a manualului este introductivă: conține o enunțare matematică a problemelor de rezolvat în controlul sistemelor dinamice continue. A doua secțiune este dedicată întrebărilor care preced construirea controlului optim pentru sistemele liniare: întrebări de controlabilitate și observabilitate. În a treia secțiune sunt derivate principalele relații ale principiului de programare dinamică Bellman, din care se determină în continuare controlul optim pentru un sistem dinamic liniar la rezolvarea problemei de stabilizare. În aceeași secțiune, se arată că principiul de programare dinamică Bellman pentru sisteme liniare este legat organic de cea de-a doua metodă Lyapunov, a cărei îndeplinire a teoremelor oferă o soluție la problema de stabilizare. A patra secțiune a manualului descrie algoritmi pentru determinarea controlului optim la rezolvarea problemei de stabilizare pentru un anumit criteriu de optimitate pătratică (integrandul funcționalului este o formă pătratică a variabilelor de control și stare a sistemului). Este dat un exemplu de determinare a controlului optim cu un criteriu de optimitate dat pentru un sistem liniar specific. Secțiunea a cincea conturează bazele teoriei sistemelor oscilatorii dinamice. Sunt derivate relațiile de bază ale principiului medierii, ceea ce face posibilă în multe cazuri simplificarea semnificativă a analizei și sintezei sistemelor oscilatorii. În secțiunea a șasea, avem în vedere o metodă pentru determinarea unui control aproximativ optim pentru problema stabilizării prin sisteme oscilatorii. Sunt date exemple de control al sistemelor oscilatoare cu unul și două grade de libertate. Sunt analizate întrebări privind influența posibilă a perturbațiilor neliniare asupra soluționării problemelor de stabilizare pentru sistemele oscilatoare.

Metodele prezentate în manual permit găsirea controlului optim pentru rezolvarea problemelor de stabilizare a sistemelor dinamice sub formă de funcții analitice în funcție de variabilele de stare ale sistemului. În acest caz, spunem că problema sintezei controlului este în curs de rezolvare. Aceste metode pot fi atribuite teoriei proiectării analitice a controlerelor, care este una dintre direcțiile importante în dezvoltarea teoriei moderne de control.

Materialul manualului se bazează pe lucrări din domeniul teoriei controlului, devenite clasice în timp. Aici, în primul rând, este necesar să remarcăm lucrările lui Pontryagin L.S. , Letova A.M. , Demidovich B.P. , Gropa D. , Bellman R. , Moiseeva N.N., Bogolyubova N.N., Mitropolsky Yu.A. și alți oameni de știință renumiți interni și străini.

1. PRINCIPALE PROPOZIȚII TEORETICE DE CONTROL OPTIM AL SISTEMELOR DINAMICE

1.1. Enunțarea problemei controlului optim al sistemelor dinamice

Modelele matematice ale sistemelor dinamice pot fi construite sub diferite forme. Acestea pot fi sisteme de ecuații diferențiale obișnuite, ecuații diferențiale parțiale, modele discrete corespunzătoare etc. Trăsătură distinctivă descrierea matematică a oricărui sistem dinamic este că comportamentul său se dezvoltă în timp și se caracterizează prin funcții ,..., care sunt numite variabile de stare (coordonatele de fază) ale sistemului. În cele ce urmează, vom lua în considerare sistemele cu timp continuu. Mișcarea unui sistem dinamic poate fi controlată sau necontrolată. La implementarea mișcării controlate, comportamentul sistemului dinamic depinde și de funcțiile de control,… . De asemenea, presupunem că comportamentul sistemului este determinat în mod unic dacă sunt date funcția vectorului de control și starea inițială a fazei, unde este timpul inițial.

La fel de model matematic sistem dinamic, vom considera un sistem de ecuații diferențiale obișnuite scrise în forma normală Cauchy

unde , , este o funcție vectorială cunoscută.

Sistemul (1.1) este cel mai des folosit pentru diverse modele matematice de sisteme dinamice cu timp continuu. Deci, de exemplu, dacă comportamentul unui sistem dinamic este descris de un sistem de ecuații cu diferențe parțiale și are loc în spațiu și timp (modele matematice ale mecanicii continuumului), atunci, făcând o discretizare în spațiu (abordare cu elemente finite), ajungem la un sistem de ecuații diferențiale obișnuite similar cu (1.1), a cărui soluție se caută în funcție de timp.

Ipoteza introdusă anterior despre unicitatea procesului de control pentru sistemul (1.1) este determinată de îndeplinirea condițiilor teoremei privind existența și unicitatea soluțiilor sistemelor de ecuații diferențiale ordinare în forma Cauchy.

Să formulăm problema controlului optim al sistemului (1.1) . În momentul inițial, sistemul (1.1) este în starea , este necesar să se determine un astfel de control care să transfere sistemul într-o stare finală dată (diferită de cea inițială), unde este timpul final. De obicei, se cere ca tranziția de la punct la punct (tranzitorie) să fie într-un anumit sens cea mai bună dintre toate tranzițiile posibile. De exemplu, dacă se ia în considerare un sistem tehnic, atunci procesul tranzitoriu trebuie să satisfacă condiția energiei minime consumate sau condiția timpului minim de tranziție. Acest cel mai bun proces tranzitoriu se numește procesul optim.

Funcția de control aparține de obicei unui domeniu de control, care este un set de spațiu euclidian -dimensional. În aplicațiile tehnice, se presupune că regiunea este o regiune închisă, adică o regiune care include limitele sale. Un control admisibil este orice control care duce sistemul de la un punct la altul. Pentru o comparație cantitativă a diferitelor controale admisibile, se introduce un criteriu de optimitate, care, de regulă, este prezentat sub forma unui anumit funcțional

Funcționala se calculează pe soluții ale sistemului (1.1) care îndeplinesc condițiile și , pentru un control admisibil dat .

În final, problema de control optim se formulează astfel: două puncte și sunt date în spațiul fazelor; dintre toate comenzile admisibile care mută punctul de fază din poziție în poziție, găsiți cel pentru care funcțional (1.2) ia cea mai mică valoare.

Controlul care dă soluția problemei prezentate mai sus se numește control optim și se notează cu , iar traiectoria corespunzătoare se numește traiectorie optimă.

Cometariu. Dacă este necesar să se asigure maximul unui criteriu, atunci această problemă poate fi redusă la problema găsirii unui minim prin schimbarea formală a semnului în fața funcționalului (1.2).

Un caz particular al problemei formulate a controlului optim este cazul când . Atunci functionala (1.2) ia forma iar optimitatea consta in implementarea timpului minim de tranzitie de la punct la punct. O astfel de problemă de control optim se numește o problemă optimă de timp.

1.2. Software-ul de control optim și problemă de stabilizare

Se consideră mișcarea sistemului dinamic (1.1). Să se găsească controlul optim pentru acest sistem și să se obțină traiectoria optimă corespunzătoare. La implementarea traiectoriei optime în sarcini tehnice inevitabil întâmpină dificultăți semnificative, constând în imposibilitatea, în primul rând, de a seta cu precizie sistemul real (sau obiectul de control) la starea inițială, în al doilea rând, de a implementa cu exactitate controlul optim în sine, în al treilea rând, de a prezice cu precizie în avans conditii externe funcţionarea sistemului (aproximarea modelului matematic original). Toate acestea conduc la necesitatea rezolvării problemei corectării legii controlului optim în procesul de funcționare a oricărui sistem tehnic(sau obiect). Astfel, problema de control optim în conditii reale poate fi împărțit în două părți: 1) construirea controlului optim nominal al sistemului dinamic original în condiții ideale în cadrul modelului matematic (1.1); 2) construirea unor acţiuni de control corectiv în vederea implementării unui control nominal optim dat şi a unei traiectorii optime în procesul de funcţionare a sistemului. Prima parte a problemei de control optim este de obicei numită problema construirii optimului controlul programului, și se rezolvă în cadrul unor informații a priori cunoscute în prealabil despre sistemul în cauză. A doua parte a problemei se numește sarcina de stabilizare a unui program de control nominal dat și trebuie rezolvată în timpul funcționării sistemului conform informațiilor primite de la dispozitivele de măsurare ale sistemului de control. Problema stabilizării programului de control nominal poate fi pusă și ca problema găsirii controlului optim după criteriul corespunzător, care se va face mai jos (vezi Secțiunea 1.4).

Cometariu. Evident, nu doar controlul optim poate fi folosit ca program de control nominal, ci și orice alt control admisibil (dacă problema optimizării controlului programului nu este rezolvată). În cel mai simplu caz particular, de exemplu, se poate pune problema stabilizării unei poziții constante a sistemului.

1.3. Mișcarea neperturbată și perturbată a unui sistem dinamic

Deoarece mișcarea reală a sistemului diferă în mod inevitabil de cea nominală a programului, acest fapt a condus la conceptul de mișcări neperturbate și perturbate a lui Lyapunov A.A. . Astfel, orice mișcare program a sistemului (1.1), indiferent dacă este optimă sau admisibilă, se numește mișcare neperturbată. În plus, această mișcare corespunde unei anumite soluții a sistemului (1.1). Mișcarea perturbată este estimată în acest caz prin unele abateri de la mișcarea neperturbată. Prin urmare, mișcarea perturbată va fi descrisă de următoarele variabile

unde variabilele și caracterizează programul de control nominal, iar variabilele și - abaterile de la programul nominal.

Înlocuind relațiile (1.3) în sistemul (1.1), obținem

Adăugarea și scăderea aceluiași termen din partea dreaptă a sistemului (1.4) și luând în considerare faptul că

obţinem sistemul în abateri de la mişcarea nominală

unde , , și sunt determinate ca rezultat al rezolvării sistemului (1.5).

De obicei se presupune că abaterile de la mișcarea nominală sunt mici. Prin urmare, dacă extindem funcția într-o serie Taylor și introducem notația , , unde indicele (o) înseamnă că derivatele parțiale sunt determinate pentru un program nominal dat, atunci obținem

Aici, funcția determină termenii de ordinul doi și mai mari în ceea ce privește abaterile; matrice și selectați partea liniară a seriei și au componente și ; .

Ecuaţiile scrise în abaterile (1.7) au mare importanțăîn teoria controlului. Pe baza acestor ecuații se formulează un număr mare de probleme de optimizare de interes practic. Una dintre aceste probleme este problema de stabilizare formulată mai sus. La rezolvarea acestei probleme este necesar să se determine cum trebuie alese acțiunile corective de control pentru a reduce abaterile într-un anumit sens în cel mai bun mod posibil.

1.4. Enunțarea problemei stabilizării optime a mișcării pentru un sistem dinamic liniar

Cel mai adesea, la rezolvarea problemei de stabilizare a mișcării unui sistem sau a unui obiect de control, se folosește un sistem dinamic liniar în abateri, care se obține din sistemul (1.7) prin eliminarea termenilor neliniari . Apoi

unde matricele și în cazul general sunt funcții de timp, deoarece depind de programul de control nominal. , de altfel, se spune că se rezolvă problema sintezei controlului. După înlocuirea legii. Luați în considerare cazul în care matricea nu are mai multe valori proprii (identice). În acest caz, o astfel de transformare reduce matricea la o formă diagonală, unde este o matrice diagonală, pe a cărei diagonală principală se află valorile proprii ale matricei (dovada este dată în Anexa 1).

MINISTERUL EDUCAŢIEI ŞI ŞTIINŢEI

FEDERAȚIA RUSĂ

UNIVERSITATEA DE STAT MOSCOVA

FACULTATEA DE FIZICĂ

Departamentul de Metode Fizice și Matematice de Control

SARCINI

pe cursuri

„Controlul optim al sistemelor dinamice liniare”

la cursul „Control optim”

Alcătuit de: prof., d.t.s. Afanasiev V.N.

Moscova 2014

1. SCOPUL LUCRĂRII

Proiectarea matematică a sistemelor de control liniar optim.

1. CONȚINUTUL LUCRĂRII
   1. Studierea materialului teoretic necesar în funcție de surse;
   2. Obținerea unei soluții analitice a problemei;
   3. Întocmirea unei scheme bloc a sistemului de control.
   4. Dobândirea de competențe în modelarea matematică a sistemului de control folosind pachetul matlab.

1. TIMP DE LUCRU

Semestrul VIII, anul IV.

Temele sunt emise în a 5-a săptămână academică.

Recepția lucrărilor finalizate se efectuează la 10 și 11 săptămâni.

PREVEDERI TEORETICE DE BAZĂ.

FORMULAREA PROBLEMEI

Multe obiecte de control pot fi descrise cu acuratețe prin modele dinamice liniare. Printr-o alegere rezonabilă a criteriilor de performanță pătratică și a constrângerilor pătratice, în acest caz, este posibil să se sintetizeze dispozitive de control de mare succes cu feedback liniar.

Fie sistemele dinamice controlate descrise prin liniară ecuatii diferentiale

(1)

aici: - starea sistemului; - intrarea de control a sistemului; - Ieșire sistem. Deci matricele A(t), B(t), C(t) au dimensiunile corespunzătoare: n x n , n x r , m x n . Să presupunem că nici asupra controlului nu sunt impuse restricții.

Să definim scopul sistemului din punct de vedere fizic. Fie ieșirea „dorită” a sistemului. Este necesar să găsiți un astfel de control u(t) , la care eroarea de sistem

(2)

ar fi mic.

De la conducere u(t) nu este limitată în problema luată în considerare, atunci pentru a evita eforturi mari în bucla de control și consumuri mari de energie, este posibil să se introducă o cerință adecvată în criteriul de calitate care să ia în considerare aceste fapte.

Adesea este important să faceți o „mică” eroare la sfârșitul tranzitoriului.

Transpunerea acestor cerințe fizice în forma uneia sau a alteia funcționale matematice depinde de multe motive. Acest capitol va lua în considerare clasa particulara criterii de calitate având următoarea formă:

(3)

unde F, Q(t) matrici de dimensiune pozitive semidefinite m x m ; R(t) matrice de dimensiune pozitiv-definită r x r .

Luați în considerare fiecare termen al funcționalului (3). Sa incepem cu. Evident, din moment ce matricea Q(t) este semidefinit pozitiv, atunci acest termen este nenegativ pentru oricare e(t) și este egal cu zero la e(t)=0. Deoarece, unde q ij (t ) element de matrice Q (t ) și e i (t ) și e j (t ) componente vectoriale e(t), atunci erorile mari sunt evaluate „mai scump” decât cele mici.

Să luăm în considerare un membru. Deoarece R(t) este o matrice definită pozitivă, atunci acest termen este pozitiv pentru oricare și „pedepsește” sistemul pentru acțiunile mari de control mai mult decât pentru cele mici.

In cele din urma, . Acest termen este adesea denumit costul de stat final. Scopul său este de a garanta „micitatea” erorii la momentul final al procesului de tranziție.

Criteriul de calitate (3) este convenabil din punct de vedere matematic, iar minimizarea lui duce la faptul că sistemele optime se dovedesc a fi liniare.

Problema de control optim este formulată astfel: sunt date un sistem de control dinamic liniar (1) și unul funcțional (3). Este necesar să se găsească controlul optim, adică control, sub influența căruia sistemul (1) se mișcă astfel încât să minimizeze funcționalitatea (3). Căutarea de soluții va fi efectuată pentru probleme cu o zonă deschisă de modificări ale acțiunilor de control și probleme în care acțiunile de control aparțin unui set dat.

1. EXERCIȚIU
   1. Să studieze metoda de construire a controlului optim al sistemelor dinamice liniare
   2. În conformitate cu numărul variantei, luați starea problemei din aplicație
   3. Verificați controlabilitatea și proprietățile de observabilitate
   4. Construiește Luenberger Observer
   5. obține solutie analitica sarcini
   6. Desenați o diagramă bloc a sistemului de control optim
   7. Să studieze influența coeficienților de greutate asupra calității proceselor tranzitorii și asupra valorii funcționale de calitate
   8. Modelarea matematică a sistemului de control cu ​​ajutorul pachetului matlab

APLICARE

Obiect de control:

Functionalitate: .

Opțiunea numărul 1

Luați în considerare la:

1. ;

Opțiunea numărul 2

Luați în considerare la:

1. ;

Opțiunea numărul 3

Luați în considerare la:

1. ;

Opțiunea numărul 4

Luați în considerare la:

1. ;

Opțiunea numărul 5

Luați în considerare la:

1. ;

Opțiunea numărul 6

Luați în considerare la:

1. ;

Opțiunea numărul 7

Luați în considerare la:

1. ;

Opțiunea numărul 8

Luați în considerare la:

1. ;

Opțiunea numărul 9

Luați în considerare la:

1. ;

Opțiunea numărul 10

Luați în considerare la:

1. ;

Opțiunea numărul 11

Luați în considerare la:

1. ;

Opțiunea numărul 12

Luați în considerare la:

1. ;

Opțiunea numărul 13

Luați în considerare la:

1. ;

Opțiunea numărul 14

Luați în considerare la:

14.1. ;

14.2. .

Opțiunea numărul 15

Luați în considerare când

15.1. ;

15.2. .

LITERATURĂ

1. Afanasiev V.N., Kolmanovsky V.B., Nosov V.R. Teoria matematică a proiectării sistemelor de control facultate. M., 2003, 616 p.
2. Afanasiev V.N. Teoria controlului optim al sistemelor dinamice continue. Proiectare analitică. M. Facultatea de Fizică, Universitatea de Stat din Moscova 2011, 170 p.
3. Afanasiev V.N. Sisteme de control optime. RUDN. 2007. - 260 p.